Hola, les dejo el enunciado de este ejercicio (La parte borrosa en la segunda imagen dice Nu(T) = S

   
   

Yo lo que plantee fue esto para el a)
(los ceros de la matriz los saque por comodidad)
\[\begin{pmatrix}1 & 2k & |0\\ -1 & -2 & |0\\ k+1 & 4 & |0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 2k & |0\\ 0 & -2+2k & |0\\ 0 & -2k^{2}-2k+4 & |0\end{pmatrix}\]

\[\Rightarrow -2k^{2} -2k +4 = 0 \wedge -2+2k=0 \Rightarrow k=-2 \wedge k=1\]

Pero después no se como plantear la parte del epimorfismo, yo plantee el mismo sistema que antes y lo iguale a (x,y,z,w) que serian las imágenes, pero me queda horripilante cuando lo voy resolviendo. La respuesta que da la guía es k=1.

Para la parte b)
yo lo que pensé fue que las transformaciones de S son nulas ya que es el núcleo, y tengo 2 transformaciones mas, entonces planteo que:

\[(A;B;C;D) = \alpha (0;0;1;0) + \beta (1;0;0;0) + \gamma (1;-1;0;1) + \theta (2;-2;0;4)\]
Si no tuve error de cuentas me quedo asi:
\[\alpha =c\]
\[\beta = A+B\]
\[\gamma = -2B-D\]
\[\theta \frac{1}{2}D + \frac{1}{2}B\]

Aplico la transformación:
\[T(A;B;C;D) = \alpha T(0;0;1;0) + \beta T(1;0;0;0) + \gamma T(1;-1;0;1) + \theta T(2;-2;0;4)\]
Como las del núcleo son nulas no hago las cuentas
\[T(A;B;C;D) = C (1;1;0) + (A+B) (2;1;3)\]
\[T(A;B;C;D) = (2A+B+C; A+B+C; 3A+3B)\]

Pero la repseusta de la guia dice:

\[T(A;B;C;D) = (2A+4B+C+2D; A+2B+C+D; 3A+6B+3D)\]

No se que esta mal en mi planteo. Gracias!

(25-09-2012 14:59)nutters escribió:  Yo lo que plantee fue esto para el a)
(los ceros de la matriz los saque por comodidad)

Te aconsejaria no hacerlo, porque paso que te olvidaste considerar al final justamente esa fila de 0 que anulaste

Solo es aplicar definiciones, TL no es un tema complicado, pero antes de encarar algun ejercicio de este tipo, fijate que herramientas tenes y teoria aprendida para la resolucion de los problemas, te piden definir si es posible una TL que sea epimorfa, vamos a aplicar el teorema de las dimensiones

\[Dim(V)=Dim(Nu(T))+Dim(Img(T))\]

como sabes para que se cumpla la condicion y por estar definida la TL de \[R^{2x2}\to R^3\] entonces la dimension de la imagen debe ser 3, con lo que para verificar el TdD necesariamente el núcleo debe tener dimensión 1, aplicando la definicion de nucleo y utilizando el isomorfismo entre matrices y vectores podemos expresar como

\[\begin{pmatrix}1 & 2k \\ -1 &-2 \\ 0& 0\\ k+1 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0 \\0 \\0 \end{pmatrix}\]

pivoteando la matriz obtengo

\[\begin{pmatrix}1 & 2k \\ 0 &-2+2k \\ 0& 0\\ 0 & -2k^2+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0 \\0 \\0 \end{pmatrix}\]

para que la dimension de esa matriz asociada al nucleo sea 1 necesariamente exigo que

\[-2k+2=0 \wedge -2k^2+2=0\to k=1\]

con ese valor de k el rango y la dimensión del núcleo es 1, por lo tanto es posible definir la TL pedida.

Cita:Para la parte b)
yo lo que pensé fue que las transformaciones de S son nulas ya que es el núcleo, y tengo 2 transformaciones mas, entonces planteo que:

\[(A;B;C;D) = \alpha (0;0;1;0) + \beta (1;0;0;0) + \gamma (1;-1;0;1) + \theta (2;-2;0;4)\]

Venias bien, pero hay un error y bueno todo lo que hiciste esta mal, no estas considerando el valor de k=0 que te dan, ademas porque tomas esas dos bases canonicas? como S= Nu(T) entonces

\[Nu(T)=\left\{\begin{pmatrix} 1 &-1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -2\\ 0 & 4\end{pmatrix}\right\}\]

Ahora si aplica lo que estabas haciendo toma una matriz generica, y plantea la combinacion lineal entre las bases de las matrices del nucleo y las que te dan, pero a los vectores del nucleo mandalos al vector nulo de \[R^3\], entendes la idea?, cualquier duda...

La parte a si, la parte b no entendi a que te referis, no te entendi que planteo tengo que hacer. Las bases de la matriz del nucleo no son esas 2 que me dan en el enunciado? yo use esas 2 y las 2 que me dieron, solo que las acomode de manera horizontal. Pero no se a que te referis si no

Ah... ahi lo vi, perdon pasa que vi lo que remarco acá por eso el comentario que hice

(25-09-2012 14:59)nutters escribió:  Para la parte b)

\[(A;B;C;D) = \alpha (0;0;1;0) + \beta (1;0;0;0) + \gamma (1;-1;0;1) + \boxed{\theta (2;-2;0;4)}\]

Talvez estas arrastrando ese error no es (2,-2,0,4) es (0,-2,0,4) entonces el procedimiento esta bien, si incluiste ese 2 en las cuentas, estas arrastrando error

Tenes razooon!!! error mio ahi! que bueno que el planteo esta bien al menos jaja . Me faltan pocos para terminar la guia jaja, gracias de verdad!!!

cualquier duda si te puedo colaborar