Hola, estoy practicando algunos ejercicios, pero acumule varios dudas de como resolver algunos ejercicios, me podrian ayudar? les subo las imagenes del enunciado

   
   

Los ejercicios son:
16)

19) b y c

20)

21)

22) b

Si me pueden orientar un poco porfa seria genial , estoy medio perdido con este tema me parece. GRACIAAAAAAS!!!

El 16:

Como es una TL de R3 a R3, la imagen es un plano.
Y pasa por el origen porque tiene nucleo (recordá la definicion de Nucleo de una TL)

(alcanza para justificar, no? Alguien que me lo confirme)

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22) b

T es inyectiva cuando su nucleo es el nulo

Igualo todo a 0, sacando las ecuaciones de la matriz
\[2x+y-z=0\]
\[-3x+ay+z=0\]
\[-x+2y=0\]

\[x=2y\], entonces

\[4y+y-z=0\]

\[z=5y\], entonces

\[-6y+ay+5y=0\]

\[(-6+5+a) y = 0\]
\[-ay=0\]
\[ay=0\]

Si a es cualquier real menos el 0,\[ y=0, x=0, z=0\] (que es lo que busco)

Si \[a=0\], y podria tomar otros valores.

Entonces la respuesta es que a puede ser cualquier real menos el 0 para que sea inyectiva.

Aunque ahora que lo pienso...tambien esta t (pues la TL va de R4 a R3), y no hay forma de garantizar que t sea 0...
que dice la respuesta?que no existe a?

El 22) b) da como respuesta que no existe a

el 16) me da como respuesta que im(T) = {(x,y,z,) / x-z=0} (una solución posible)

Entonces el 22b esta bien, pasa que mi desarrollo está al pedo, no observé que t no aparece en ninguna de las ecuaciones

haaaa, te referis a que no sale un \[T: R^{4} \to \ R^{3} / t(x,y,z,w) = (algo, algo2, algo3)\]

Donde faltaria el: \[/ t(x,y,z,w) = (algo, algo2, algo3)\]??

Gracias por ayudarme en el 22!! me flatan los otros ahora jaja

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Perdon toque el boton equivocado jajajaja

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Edite tu mensaje para hacerlo mas claro

Vamos por partes

16) Geométricamente, el núcleo de la transformación esta generado por la intersección de dos planos, entonces la \[dim(Nu(T))=1\], para que se cumpla el teorema de las dimensiones,

necesariamente \[dim(Im(T))=2\], podes tomar cualquier plano perpendicular a la recta, uno puede ser el que te dan como respuesta, u otro perpendicular a la misma

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19b) aplica la definción de nucleo directamente, haciendo \[T(x,y,z)=(0,0,0)\], pivotea, gausea, usa sustitución, o como mas te guste para encontrar los valores de k en la matriz asociada a

TL, notaras que la primera y la tercera fila son LD con eso ya sabes que para los valores de k distintos que halles, la dimension del núcleo puede ser 1 o 2

19c) para ahorrar cuentas, basta encontrar las columnas LI que existan en la matriz asociada a la TL , podes usar que \[Rg(A)=Rg(A^t)\]

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20) Te piden que digas si esa TL es inyectiva sobreyectiva o biyectiva, es solo usar las definiciones correspondientes, ¿las sabes?

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21b) Te piden la matriz asociada a la TL en bases canonicas tenes

\[E=\left \{ 1,x,x^2 \right \}\quad E^*=\left \{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \right \}\]

para visualizar mejor E podes usar el isomorfismo existente entre los polinomios de grado 2 y los vectores de \[R^3\] o sea hacer

\[E=\left \{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \right \}\]

ahora solo es aplicar la ley de la TL, que te la dan, y obtener la matriz asociada

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22) solo son definiciones, para que T sea inyectiva entonces \[dim(Nu(T))=0\]

Si pivoteas, gausseas o como mas te guste esa matriz, encontras que para valores de \[a\neq 1\] (salvo error en cuentas) el rango de la matriz es 3, entonces necesariamente el núcleo

debe tener dimension 0, aplicando la definicion de variables libres \[V_l=N-Rg(A)\] V.libres=número de incognitas - el rango de A tenes que \[V_l=4-3=1\]

por definición las variables libres en una TL coinciden con la dimensión del nucleo, y habiamos dicho que el núcleo debe tener dimension 0, entonces es un absurdo,

no existen valores de a, que cumplan la condición pedida

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(22-09-2012 16:21)nutters escribió:  haaaa, te referis a que no sale un \[T: R^{4} \to \ R^{3} / t(x,y,z,w) = (algo, algo2, algo3)\]

Donde faltaria el: \[/ t(x,y,z,w) = (algo, algo2, algo3)\]??

No falta nada, la ley de la TL es asi como la planteas

Gracias por la respuesta!! mira, te cuento un poco que fue lo que plantee porque aun tengo dudas (aun no cazo muy bien el tema)

En el 19) b) Plantee esto:

\[\begin{pmatrix}-2 & (k-1) & | -1\\ 2 & (1-k) &| 1 \\ -2 & (k^{2}-1) & |-1\end{pmatrix}\]

Al operar me quedo que k^2 - k = 0 Donde saque que k= 0 y k = 1 (que los los valores que da como respeusta la guia) Pero no se si el planteo fue correcto o hice cualquier cosa y me dio de suerte.

Yo hice el planteo como me dijiste antes, pero me dan mal los valores de k si planteo el sistema asi:

\[\begin{pmatrix}-2 & 2 & -2 & |0\\ (k-1) & (1-k) & (k^{2}-1) & |0\\ -1 & 1 & -1 & |0\end{pmatrix}\]

Para el 19) c) no se bien que planteo hacer, los valores de que como repseusta en la guia son los mismos que el anterior. Yo se que en el planteo tengo 2 LI porque los 3 que me dan como dijsite antes son LD el primero y el tercero.

PARa el 20) yo hice exactamente eso que me dijsite, primero plantee que el nucleo(t) = vector nulo, y me da que:
a=0
b=0
a=-c ---> como a = 0 entocnes c = 0

por lo que es monomorfismo (que es la UNICA respeusta de la guia)
pero yo segui analizando a ver si era alguna de las otras tambien, y tengo una duda de como hacer para hallar si es epimorfismo.
Como la dim del nucleo es 0 entocnes la de la imagen debe ser 4 no?

entocnes si tengo:

\[\begin{pmatrix}a & b\\ b & a-c\end{pmatrix} \Rightarrow base(t)=\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix};\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\right\}\]

Entonces como la dim de la imagen es 3 y no 4 no es epimorfismo no? por lo tanto tampoco es isomorfismo. o esta mal hecho esto?

En el 22) no se si te referias a esto, yo plantee lo siguiente:

\[T(x+x^{2}) = (-1;2;1)\]
\[T(1+x) = (1;2;1)\]
\[T(1+x^{2}) = (0;0;2)\]

y de base tengo (1;0;0) (0;1;0) y (0;0;1)

Entocnes planteo:
\[(-1;2;1) = \alpha _{1} (1;0;0) + \alpha _{2} (0;1;0) + \alpha _{3} (0;0;1)\]
\[(1;2;1) = \beta _{1} (1;0;0) + \beta _{2} (0;1;0) + \beta _{3} (0;0;1)\]
\[(1;2;1) = \gamma _{1} (1;0;0) + \gamma _{2} (0;1;0) + \gamma _{3} (0;0;1)\]

Entonces Matriz asociada = \[\begin{pmatrix}\alpha _{1} & \beta _{1}&\gamma _{1}\\ \alpha _{2} & \beta _{2}&\gamma _{2}\\ \alpha _{3} & \beta _{3} & \gamma _{3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\ 2 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}\]

Pero la repseusta de la guia dice:

\[\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

Probé ver si era una cuestión de que le dieron otros valores a a, b y c, pero no me dio.

Para el 22) a) (ya que estamos pregunto a ver si plantee bien):
hice determinantes donde \[\begin{vmatrix}2 & 1 & -1\\ -3 & a & 1\\ -1 & 2 & 0\end{vmatrix}\]

Al resolverlo queda que -1-a+2 = 0 entonces a = 1 (que es la respuesta de la guia.
Pera la b entendí perfectamente.

MUCHAS GRACIAS por la respuesta!!! me ayuda mucho!!

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Esos br del enter no deberian salir :O perdon por esa desprolijidad

(24-09-2012 20:40)nutters escribió:  Gracias por la respuesta!! mira, te cuento un poco que fue lo que plantee porque aun tengo dudas (aun no cazo muy bien el tema)

En el 19) b) Plantee esto:

\[\begin{pmatrix}-2 & (k-1) & | -1\\ 2 & (1-k) &| 1 \\ -2 & (k^{2}-1) & |-1\end{pmatrix}\]

Al operar me quedo que k^2 - k = 0 Donde saque que k= 0 y k = 1 (que los los valores que da como respeusta la guia) Pero no se si el planteo fue correcto o hice cualquier cosa y me dio de suerte.

Yo hice el planteo como me dijiste antes, pero me dan mal los valores de k si planteo el sistema asi:

\[\begin{pmatrix}-2 & 2 & -2 & |0\\ (k-1) & (1-k) & (k^{2}-1) & |0\\ -1 & 1 & -1 & |0\end{pmatrix}\]

Para el 19) c) no se bien que planteo hacer, los valores de que como repseusta en la guia son los mismos que el anterior. Yo se que en el planteo tengo 2 LI porque los 3 que me dan como dijsite antes son LD el primero y el tercero.

Te confudiste, es al reves, mira la trasformacion esta dada por

\[T(x,y,z)=(-2x+2-2z,(k-1)x+(1-k)y+(k^2-1)z,-x+y-z)\]

que escrita de forma matricial tenes

\[T\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 2 & -2 \\ (k-1) & (1-k) & (k^{2}-1) \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}\]

ahora si tenes la matriz asociada a la TL, para hallar el nucleo iguala a 0 esa matriz, revisa bien tus cuentas, que deberia darte los valores que encontras arriba, y para la imagen traspone la matriz o sea lo que hiciste antes, me entendes?? puedo hacer esto directamente porque las bases de la TL son las canonicas, si fuesen otras bases, nó.

Cita:PARa el 20) yo hice exactamente eso que me dijsite, primero plantee que el nucleo(t) = vector nulo, y me da que:
a=0
b=0
a=-c ---> como a = 0 entocnes c = 0

por lo que es monomorfismo (que es la UNICA respeusta de la guia)
pero yo segui analizando a ver si era alguna de las otras tambien, y tengo una duda de como hacer para hallar si es epimorfismo.
Como la dim del nucleo es 0 entocnes la de la imagen debe ser 4 no?

entocnes si tengo:

\[\begin{pmatrix}a & b\\ b & a-c\end{pmatrix} \Rightarrow base(t)=\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix};\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\right\}\]

Entonces como la dim de la imagen es 3 y no 4 no es epimorfismo no? por lo tanto tampoco es isomorfismo. o esta mal hecho esto?

Está perfecto salvo que es -1 en la ultima matriz fila 2 columna 2

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Para el 22, la verdad no entiendo bien lo que hiciste, para que planteaste la combinacion lineal si no es necesario , fijate que la ley de la TL es (supongo que es el ejercicio 21b.. ¿no?)

\[T(a+bx+cx^2)=(a-c,2b,a+c)\]

Si consideras el isomorfismo que existe entre los polinomios de grado dos y los vectores de \[R^3\] podes tomar la base de dichos polinomios como

\[E=\left \{ (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) \right \}\]

lo unico que hay que hacer es

\[\\T(1+0+0)=(1,0,1)\\T(0+1x+0)=(0,2,0)\\T(0+0+1x^2)=(-1,0,1)\]

Recorda que hay que hay que trasponer esos valores para definir la matriz, entonces tenes

\[M_{EE^*}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

Entendes??

Cita:Para el 22) a) (ya que estamos pregunto a ver si plantee bien):
hice determinantes donde \[\begin{vmatrix}2 & 1 & -1\\ -3 & a & 1\\ -1 & 2 & 0\end{vmatrix}\]
Al resolverlo queda que -1-a+2 = 0 entonces a = 1 (que es la respuesta de la guia.

Conceptualmente si no aclaras algo, nó esta bien, la matriz es

\[M(T)=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 0\\ -3 & a & 1 & 0\\ -1 & 2 & 0 & 0\end{pmatrix}\]

una matriz de 3x4, por lo que aplicar el determinante esta mal, como sabras unicamente se puede aplicar a matrices de orden \[n\times n\], pero podes reducir la matriz a una de 3x3 como lo hiciste, si encontras a lo sumo 3 filas LI entonces el rango de esa matriz como maximo es 3, que es lo que hiciste al determinar el valor de a, cuando se reducen las matrices de orden
\[m\times n\] a las de orden \[n\times n\] aclaralo.

Cita:Pera la b entendí perfectamente.

PD: si bien los ejercicios que subis son todos relacionados a TL , si no es mucho pedirte, por favor por cada ejercicio es mejor que abras un nuevo treath

FANTASTICO!! muchas graciaaas por explicarme!! voy comprendiendo mejor en tema. La proxima subo los ejercicios por separado, yo los puse juntos como para no llenar el foro con mis dudas jaja. Gracias de nuevo!

(25-09-2012 11:47)nutters escribió:  FANTASTICO!! muchas graciaaas por explicarme!! voy comprendiendo mejor en tema. La proxima subo los ejercicios por separado, yo los puse juntos como para no llenar el foro con mis dudas jaja. Gracias de nuevo!

Genial, y no te preocupes de llenar de dudas el foro.. que para eso esta ....por lo menos la parte academica