Buenas noches gente,

Quiero que me corrijan si pueden, lo siguiente del ejercicio del TP5 - Ejercicio 05:

Analice si la funcion \[f(x,y)= \frac{x .y^2}{x^2+y^4}\] si \[(x,y)\neq (0,0)\] , y 0 si \[(0,0)\].

Para ver si esta funcion admite plano tangente, hace falta que sea diferenciable. Para que sea diferenciable debe ser continua en el punto. Por ende, si pruebo que no es continua en el punto, puedo afirmar que no es diferenciable y que no tiene plano tangente.

Hago lo siguiente:

Si analizo por limites iterados, la funcion me dá 0.

En cambio, si hago la sustitucion de \[x=y^2\] ,

\[\lim_{(x,y)\to (y^2,0)}\frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2}\]

Ya que los valores de los limites iterados con el radial me dá de valores diferentes, puedo afirmar que no es continua en ese punto, que no es diferenciable y que no tiene plano tangente.


¿Esta bien este razonamiento?

Yo lo veo bien !

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Parte A

Si \[(x,y) \neq (0,0)\]

\[f(x,y) = \frac{x.y^2}{x^2+y^4}\]

Parte B

Si \[(x,y) = (0,0)\]

\[f(x,y) = 0\]


Analizamos continuidad

1) \[\exists f(0,0) = 0\]

2) Analizamos que pasa con el límite.

\[\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x.y^2}{x^2+y^4}\]

Vamos a usar los limites radiales para intentar probar que el limite no existe. Usamos la famila de curvas que usaste vos:

\[x = ay^2\]

Sustituyendo:

\[lr: \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ay^2.y^2}{(ay^2)^2+y^4}\]

\[lr: \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ay^2.y^2}{(ay^2)^2+y^4} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ay^4}{a^2y^4+y^4} \]

\[lr: \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ay^4}{a^2y^4+y^4} = \lim_{(x,y) \rightarrow 0} \frac{ay^4}{y^4(a^2+1)}\]

Nos queda:

\[lr: \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ay^4}{y^4(a^2+1)} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{a}{(a^2+1)} = \frac{a}{(a^2+1)}\]

Como los limites radiales existen, pero son diferentes entre sí....La función no es continua en ese punto, entonces no es diferenciable en dicho punto.

Muchas gracias man!!