Hola a todos, estoy tratando de sacar los limites de integracion de este ejercicio que me pide lo siguiente:

Calcule \[\iint_D \frac{x+4y}{x^{2}}\, dx\, dy\] con \[D:x\geq y\, \, ,\: x+4y\leq 4\: ,\: y\geq0\] usando coordenadas polares.

segun la guia de Kasero el recinto de integracion es asi: http://www.utnianos.com.ar/foro/attachment.php?aid=1725 (es el ejercicio 9).

El limite de integracion para Phi lo pude sacar, pero los limites de integracion de Ro no me salieron. Kasero lo plantea de una manera que no tengo idea de donde sale, quisiera saber si alguien lo pudo hacer de otra manera, gracias!

El recinto es este (el que plantea Kasero)
http://fooplot.com/plot/6um1hh1x5c


\[\phi\] va de 0 a Pi/4 (como se puede ver en el dibujo)
Y para \[\rho\], yo lo pensaría así...yo se que \[\rho\] va de 0 hasta la recta x+4y=4 (por observarlo en el dibujo)
Tambien sabes que \[x= \rho.cos(\phi)\], \[y= \rho .sen(\phi)\]

Entonces:
\[\rho\].cos(\[\phi\])+4\[\rho\].sen(\[\phi\])=4
\[\rho\](cos(\[\phi\])+4.sen(\[\phi\]))=4
\[\rho\]=4/(cos(\[\phi\])+4.sen(\[\phi\]))

Quedaría:

\[0 < \phi < \frac{\pi }{4}\]

\[0 < \rho < \frac{4}{cos(\phi)+4.sen(\phi)}\]

Hola Feddyn. El entorno es ese triángulo. Para phi entre cero y cuarenta y cinco grados, el radio está acotado por la segunda inecuación. Con trigonometría obtiene dos ecuaciones con x, y, phi y rmax. Después deja rmax en función de phi.
Cuando integrás respecto de r, phi es constante, por eso no hay dificultad con que esté en el límite de integración.

Gracias chicos!, voy a intentar hacerlo como dicen. Cualquier cosa aviso!

Si te fijás en el Vol. 2 del Libro de Flax, en el ejercicio 103 (parecido al que planteas acá), dice cuáles son las fórmulas de pasaje de coordenadas polares a cartesianas, que pueden llegar a orientarte un poco más sobre la resolución de tu ejercicio.

El libro de Flax podés encontralo en este post, por ejemplo.