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Transformaciones Lineales y Rototraslación
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lizzy Sin conexión
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Sin estado :(
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Mensaje: #1
Transformaciones Lineales y Rototraslación Ejercicios Álgebra y Geometría Analítica
Hola!
Preciso ayuda con estos ejercicios...no entiendo lo que hay que hacer...

1) Hallar la expresión analítica de T usando la matriz y bases canónicas. \[T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} ^2\]
B1= {(1,0,0), (0,1,1), (0,0,1)} , B2={(1,1), (0,-1)} ,\[M(T)=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}\]

2)Rototraslación: Dada la ecuación 2xy-4x=1 en \[\mathbb{R}^2 \] lleve a la forma canónica, identifique y grafique.

Desde ya les agradezco las respuestas!

PD: el exámen lo tengo el miércoles...
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 18-02-2012 13:52 por lizzy.)
18-02-2012 13:42
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matyary Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Transformaciones Lineales y Rototraslación
Hola, a ver te doy una mano con el 2do. ejercicio.

EJERCICIO 2.

\[2xy-4x=1\]


Siendo:

\[a=0 \wedge b=2 \wedge c=0 \wedge d=-4\]


Planteás la matriz de la cual tenés que hallas los autovalores para luego poder rototrasladar la ecuación original.

\[A=\begin{pmatrix}a& \frac{b}{2}\\ \frac{b}{2} & c\end{pmatrix}\]

\[A=\begin{pmatrix}0& 1\\ \1 & 0\end{pmatrix}\]


Hallás autovalores:

\[\begin{vmatrix}-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix}=\lambda^2-1=0\]

\[\lambda^2=1 \to \lambda_1=1 \wedge \lambda_2=-1\]


Ahora autovectores:

Para \[\lambda=-1\]:

\[\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \to y=-x \to \bar{v}_{\lambda=-1}=(1,-1)\]

Para \[\lambda=1\]:

\[\begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \to y=x \to \bar{v}_{\lambda=1}=(1,1)\]


Y ahora armás la nueva cónica:

\[\begin{pmatrix}x' & y'\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x' & y'\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-4\\ 0\end{pmatrix}=1\]

Resolvés esa operación y obtenés la cónica buscada.
Saludos!

PD.: Si hay algún error de cuentas avisame.

PD.: Si no me equivoco te da una hipérbola, desplazada del origen respecto del eje \[x\]

\[\sqrt{-1} \;\; 2^3 \;\; \sum \;\; \pi\]
... and it was good!


Mi web: Von Hexlein
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 18-02-2012 14:19 por matyary.)
18-02-2012 14:18
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Julita Sin conexión
Mrs Lovett
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Mensaje: #3
RE: Transformaciones Lineales y Rototraslación
Si tenés idea de cuánto tiene que dar y no da esto que me da a mi, subí el resultado =P

Ejercicio 1:

Para hallar la base canónica desde una Matríz en otras bases hacés el camino inverso al que harías para convertirla en esas bases...
Entonces:

\[B2 . Mb1b2 . B1^{-1}\]

\[\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\bigr) * \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0\end{smallmatrix}\bigr) * X\]

Puse X así desarrollo ahora, voy a hacer la inversa de B1 por el método de la matriz adjunta
Primero hacés la traspuesta y te queda:

\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}\]

Después la adjunta y la dividís por el det(A) que da 1 en este caso, y te queda:

\[X= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 &-1 &1 \end{pmatrix}\]

Ahora meto esto en donde dejé la X más arriba y al hacer las cuentas te queda la matriz:

\[\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0\end{smallmatrix}\bigr)\]

entonces:
\[\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0\end{smallmatrix}\bigr)* \bigl(\begin{smallmatrix}x\\ y\\z \end{smallmatrix}\bigr) = {x,2x}\]

Espero esté bien... sino avisá

*-.Ellos aceptan los vaivenes de la naturaleza, la historia y la vida, como cíclicos juegos de un destino inexorable.-*
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 18-02-2012 15:22 por Julita.)
18-02-2012 15:21
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lizzy Sin conexión
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Registro en: Sep 2011
Mensaje: #4
RE: Transformaciones Lineales y Rototraslación
thumbup3 Muchas Gracias! Fueron de mucha ayuda! Saludos![/align]
18-02-2012 22:14
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