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Volumen entre superficies
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Maik Sin conexión
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Mensaje: #1
Volumen entre superficies Ejercicios Análisis Matemático II
A ver si alguien me tira una puntita.

Sean las superficies

\[z = 6-x^2\]
\[x^2+3y^2-z = 0\]

Cacular el volumen.

Buen, despejando z y trabajando los terminos queda:

\[\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\]

o sea:

\[x=\sqrt{2}r*cos(t)\]
\[y=\sqrt{3}r*sen(t)\]

ahora, el tema es como planteo la integral.

los intervalos de integracion serian:


\[6-x^2\leq z\leq x^2+3y^2\]
\[0\leq r\leq 1\]
\[0\leq\Theta \leq 2\Pi \]

y aca es donde me pareec que la cago, la integral seria:

\[\int abr dr d\Theta dz=\int_{0}^{2\Pi }\int_{0}^{1}\int_{x^2+3y^2}^{6-x^2} \sqrt{2}\sqrt{3}r.d\Theta .dr.dz\]


hasta donde puedo ver, eso no me da nada porque me quedan las variables x e y en la integral, y x e y no tienen ningun periodo de integracion Confused

Gracias.

MODS
[Imagen: 2r5t075.jpg]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 13-06-2013 08:56 por Maik.)
13-06-2013 08:50
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Bodhi Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Volumen entre superficies
El problema creo que está (no me puse a hacerlo posta) en el intervalo de integracion del radio, ya que al ser una elipse, el radio varía.

"A man writes because he is tormented, because he doubts. He needs to constantly prove to himself and the others that he's worth something. And if I know for sure that I'm a genius? Why write then? What the hell for?"

[Imagen: 1726.jpg]
13-06-2013 09:36
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: Volumen entre superficies
La integral esta perfecta... solo que te olvidaste evaluar los limites que tenes en cartesianas en el cambio de coordenadas que propones... otra manera que es practicamente la misma pero para mi un poco mas "manejable" es calcular el volumen como

\[V=\iint_{P_xy}\left ( \int dz \right ) dxdy\]

en tu ejercicio

\[V=\iint_{P_xy}\left ( \int_{x^2+3y^2}^{6-x^2} dz \right ) dxdy=\iint_{P_xy}3y^2-2x^2+6dxdy\]

el recinto sobre el plano xy es como bien decis la elipse de ecuacion

\[R:\left \{x\in R^2/\quad \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\right \}\]

tomando coodenadas polares generalizadas

\[g:R^2\to R^2/g(r,\theta)=(\sqrt{3}r\cos\theta,\sqrt{2}r\sin\theta)\quad Dg=\sqrt{6}r\]

aplicando dicho cambio en la integral tenes

\[V=\sqrt{6}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(6r^2\sin^2\theta-6r^2\cos^2\theta+6)rdrd\theta=6\sqrt{6}\pi\]

13-06-2013 10:39
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[-] Saga recibio 1 Gracias por este post
Maik (13-06-2013)
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Mensaje: #4
RE: Volumen entre superficies
llegue a lo mismo mientras hacia el ejercicio en la clase de algebra : success :

Gracias!

MODS
[Imagen: 2r5t075.jpg]
13-06-2013 12:16
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