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[Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
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fedee90 Sin conexión
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Mensaje: #16
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
¿Alguno podría plantear el 5? Realmente no logro darle la vuelta!
03-03-2013 18:08
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xarhakos Sin conexión
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Mensaje: #17
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
Hola!, Primero que nada muchas gracias por subir el final!
Puede ser que el 3) esté mal el enunciado? (APARTE de lo de el nucleo e imagen que tenian las mismas ecuaciones)

Me queda algo raro, miren:

Hallo el complemento ortogonal de S
\[S^{ort}=\{(1,1,-2,0),(0,0,0,1)\}\]
ademas:
\[w=\{(1,-2,1,0),(0,0,0,1)\}\]

Luego la interseccion de ambos me queda:
\[s^{ort}\cap w=\{(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}\] <----(EDIT:esto esta mal, ver respuesta de fedee90)
lo cual es de dimension 3
entonces por teorema de las dimensiones:
\[dim(S^{ort}+w)=dim(S^{ort})+dim(W)-dim(s^{ort}\cap W) = 1\]

PEERO aca el gran problema, ya que la suma de S(ort) y W, me da de dimension 3 Confused
\[S^{ort} + W = \{(1,1,-2,0),(1,-2,1,0),(0,0,0,1)\}\]
Ya que esos 3 vectores son LI..
Estoy haciendo algo mal o es el enunciado nomas?
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 03-03-2013 18:55 por xarhakos.)
03-03-2013 18:31
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Mensaje: #18
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
A mi la interseccion me dio de Dimensión 1.
Fijate.. te quedó: \[S^\perp: (x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}/ 2y+z=0, x-y=0 \]
Si hacés la intersección de \[S^\perp\] con W queda
2y+z=0 , x-y=0 , x-z=0 , 2x+y=0 ... Si resolvés el sistema de ecuaciones te queda x=y=z=0
Como estamos en R4 el vector te queda (0,0,0,t) = t(0,0,0,1) entonces una base de la intersección da <(0,0,0,1)> y su dimensión es 1 (por lo tanto, la dimensión de la imagen debe ser 3)

Fijate que el teorema se cumple :
4 = 1 + 3
3 = 2 + 2 - 1
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 03-03-2013 18:45 por fedee90.)
03-03-2013 18:41
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xarhakos (03-03-2013)
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Mensaje: #19
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
Sip ya vi qué hice mal. Gracias mil.

(03-03-2013 14:52)Feche escribió:  El 4)a) me dio con los resultados que les dieron ahí.... y en el 4)b) lo que hice fue hallar la matriz A... La matriz diagonal y la matriz A son semejantes, entonces A^100 = D^100 , y así verifique si daba esa cuenta, y era verdadera.... Eso es lo que hice yo en el final, no sabría decirte si está bien o mal :/ . Lo que decía en el final era que no era necesario hallar la matriz A....

Hola, el 4a) también me dio así, aunque lo hice por ruffini =D
Ahora con el 4b), el problema que veo es que dice "para b=1 y para todo a", pero si b=1, a es forzosamente igual a -2, entonces ya no es "para todo a", y menos todavia puedo diagonalizar A "para todo a".
Tonce que hacemos? =D

Edit: una amiga me dijo que el 4b) era para b=0, puede ser que te hayas confundido ahi con el enunciando o simplemente sera un tema distinto?
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 03-03-2013 19:42 por xarhakos.)
03-03-2013 18:54
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Maribel Sin conexión
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Mensaje: #20
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
Alguien me puede explicar el 4 a)... o por lo menos como se empieza a resolverlo jajajaja...
03-03-2013 22:53
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Mensaje: #21
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
(03-03-2013 22:53)Maribel escribió:  Alguien me puede explicar el 4 a)... o por lo menos como se empieza a resolverlo jajajaja...

Tenes que buscar los autovectores para el autovalor 1... si es autovalor doble, entonces tiene que generarte dos autovectores ! Fijate que valores van a tener que ser a y b para que eso se cumpla!
03-03-2013 23:14
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Mensaje: #22
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
ya saque a=-2 y b=1...

si 1 es raíz doble me tenían que dar dos autovectores... y me dio resolviendo el ejercicio

"columna" = (1,1,0) y (2,0,1)

después para sacar el tercer autovector resolví el sistema y me dio "columna" (-2,-2,1)

y con esos autovectores arme la matriz P (matriz diagonal de A)

Esta bien?
03-03-2013 23:48
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Mensaje: #23
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
Si , perfecto ;)
03-03-2013 23:51
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Maribel (03-03-2013)
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Mensaje: #24
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
jajaja Sr. Profesor ahora no me sale el punto 4b)...

Analizar la validez de la siguiete preposicion, para b=1 : A^100 (1,1,0) = (1,1,0)... para todo a perteneciente a reales...
04-03-2013 00:01
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Mensaje: #25
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
Sonó morboso eso jaja.

Mucho no lo entendí... aparentemente, Si b=1 entonces A es diagonalizable. Como A es diagonalizable, se cumple que es semejante a la matriz D.
Entonces \[A^{100}=D^{100}\]\[A^{100}=D^{100} \rightarrow D^{100}.\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\] Lo cual verifica.

Pero la verdad que no me fije muy bien este ejercicio, me quedaron las dudas!
04-03-2013 00:10
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Mensaje: #26
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
jajaja fue con onda... igual yo lo hice igual aunq tampoco lo entendi... bue... jajaja

Gracias por tu ayuda... mañana te sentas al lado mio???... jajajaja

Saludos!
04-03-2013 00:14
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Mensaje: #27
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
Dale, así nos macheteamos las cosas! jajaja nos vemos
04-03-2013 00:18
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xarhakos Sin conexión
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Mensaje: #28
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
En realidad \[A^{100} = D^{100}\] me parece que no es correcto, la manera correcta de hacer las potencias de matrices es algo asi como la siguiente.

Primero hallas la matriz diagonal D (que se compone por los autovalores y NO los autovectores, guarda con eso).

Luego, tenes que hallar la matriz P, y \[P^{-1}\],
luego sabemos que \[D = P^{-1} A P\],
operando llegas a que \[A = P D P^{-1}\],
y se demuestra que: \[A^{n} = P D^{n} P^{-1}\]

La potenciacion de una matriz diagonal es algo trivial, simplemente potencias las diagonales.
Pero claro, tenes que hacer la multiplicacion completa de \[P D^{n} P^{-1}\]
(que obviamente es mucho mas facil que multiplicar 100 o mil veces una matriz por si misma).

Bueno, ese es el procedimiento, de ahi que me llamo la atención que te den b=1, porque, como dije antes, con b=1 quedan forzados los autovalores que ya hallamos en el 4a), por consiguiente a debe ser = -2 para que A resulte diagonalizable y se pueda realizar todo el procedimiento que describí recien., Luego, no podriamos probar lo que nos pide el enunciado ya que dice "para todo a", y con b=1 ya quedó particularizado para a=-2. Y ahi esta el problema xD
Si alguien hechar un poco de luz bienvenido sea.
(por cierto, hice la prueba haciendo de cuenta que el enunciado 4b) dijera b=0 y ahí sí tiene sentido)
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 04-03-2013 00:27 por xarhakos.)
04-03-2013 00:25
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feder Sin conexión
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Mensaje: #29
RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
(04-03-2013 00:25)xarhakos escribió:  En realidad \[A^{100} = D^{100}\] me parece que no es correcto, la manera correcta de hacer las potencias de matrices es algo asi como la siguiente.

Primero hallas la matriz diagonal D (que se compone por los autovalores y NO los autovectores, guarda con eso).

Luego, tenes que hallar la matriz P, y \[P^{-1}\],
luego sabemos que \[D = P^{-1} A P\],
operando llegas a que \[A = P D P^{-1}\],
y se demuestra que: \[A^{n} = P D^{n} P^{-1}\]

La potenciacion de una matriz diagonal es algo trivial, simplemente potencias las diagonales.
Pero claro, tenes que hacer la multiplicacion completa de \[P D^{n} P^{-1}\]
(que obviamente es mucho mas facil que multiplicar 100 o mil veces una matriz por si misma).

Bueno, ese es el procedimiento, de ahi que me llamo la atención que te den b=1, porque, como dije antes, con b=1 quedan forzados los autovalores que ya hallamos en el 4a), por consiguiente a debe ser = -2 para que A resulte diagonalizable y se pueda realizar todo el procedimiento que describí recien., Luego, no podriamos probar lo que nos pide el enunciado ya que dice "para todo a", y con b=1 ya quedó particularizado para a=-2. Y ahi esta el problema xD
Si alguien hechar un poco de luz bienvenido sea.
(por cierto, hice la prueba haciendo de cuenta que el enunciado 4b) dijera b=0 y ahí sí tiene sentido)

yo lo que plantee, y por la nota que me saque, creo que esta bien lo que puse... para que cumpla eso, es evidente que A^100 tiene que ser I, entonces SÍ vale que A^100=D^100 porque se tiene que cumplir que A^100=PD^100P^-1... o sea, D^100 tiene que ser I, asi se cancela y te queda P P^-1 = I entonces nos queda A^100 = I que es lo que tiene que pasar. Pero si b=1, los autovalores creo que eran 1, -3 y 4 (no me acuerdo bien), por lo que D sería: \[\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0\\ 0& 1 &0 \\ 0&0 & 4\end{pmatrix}\] y al elevarla a la 100, te quedan esos numeros a la 100 y lejos esta de darte la matriz identidad, porque -3^100 o 4^100 no da 1

Ahora hago el de complejos, estudie tanto algebra que puedo dar clases =P na mentira, ahora lo voy haciendo
04-03-2013 01:39
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fedee90 Sin conexión
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RE: [Aporte] [Algebra y Geometría Analítica] Final 25/02/13
(04-03-2013 01:39)feder escribió:  
(04-03-2013 00:25)xarhakos escribió:  En realidad \[A^{100} = D^{100}\] me parece que no es correcto, la manera correcta de hacer las potencias de matrices es algo asi como la siguiente.

Primero hallas la matriz diagonal D (que se compone por los autovalores y NO los autovectores, guarda con eso).

Luego, tenes que hallar la matriz P, y \[P^{-1}\],
luego sabemos que \[D = P^{-1} A P\],
operando llegas a que \[A = P D P^{-1}\],
y se demuestra que: \[A^{n} = P D^{n} P^{-1}\]

La potenciacion de una matriz diagonal es algo trivial, simplemente potencias las diagonales.
Pero claro, tenes que hacer la multiplicacion completa de \[P D^{n} P^{-1}\]
(que obviamente es mucho mas facil que multiplicar 100 o mil veces una matriz por si misma).

Bueno, ese es el procedimiento, de ahi que me llamo la atención que te den b=1, porque, como dije antes, con b=1 quedan forzados los autovalores que ya hallamos en el 4a), por consiguiente a debe ser = -2 para que A resulte diagonalizable y se pueda realizar todo el procedimiento que describí recien., Luego, no podriamos probar lo que nos pide el enunciado ya que dice "para todo a", y con b=1 ya quedó particularizado para a=-2. Y ahi esta el problema xD
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(por cierto, hice la prueba haciendo de cuenta que el enunciado 4b) dijera b=0 y ahí sí tiene sentido)

yo lo que plantee, y por la nota que me saque, creo que esta bien lo que puse... para que cumpla eso, es evidente que A^100 tiene que ser I, entonces SÍ vale que A^100=D^100 porque se tiene que cumplir que A^100=PD^100P^-1... o sea, D^100 tiene que ser I, asi se cancela y te queda P P^-1 = I entonces nos queda A^100 = I que es lo que tiene que pasar. Pero si b=1, los autovalores creo que eran 1, -3 y 4 (no me acuerdo bien), por lo que D sería: \[\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0\\ 0& 1 &0 \\ 0&0 & 4\end{pmatrix}\] y al elevarla a la 100, te quedan esos numeros a la 100 y lejos esta de darte la matriz identidad, porque -3^100 o 4^100 no da 1

Ahora hago el de complejos, estudie tanto algebra que puedo dar clases =P na mentira, ahora lo voy haciendo

Ojo.. que A sea diagonalizable, no significa que A^100 = D^100 ... son semejantes, eso significa que si multiplicas P^(-1).D^(100).P = A^(100)

Fijate en este ejemplo.\[A=\begin{pmatrix}1 &1 \\ 1& 1\end{pmatrix}\]. Su matriz diagonal es \[D=\begin{pmatrix}0 &0 \\ 0& 2\end{pmatrix}\]

Pero \[A^{6} \neq D^6\] , en cambio cumple \[A^{6} = P^{-1}.D^6.P\]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 04-03-2013 01:49 por fedee90.)
04-03-2013 01:48
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