Hola!
Preciso ayuda con estos ejercicios...no entiendo lo que hay que hacer...
1) Hallar la expresión analítica de T usando la matriz y bases canónicas. \[T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} ^2\]
B1= {(1,0,0), (0,1,1), (0,0,1)} , B2={(1,1), (0,-1)} ,\[M(T)=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}\]
2)Rototraslación: Dada la ecuación 2xy-4x=1 en \[\mathbb{R}^2 \] lleve a la forma canónica, identifique y grafique.
Desde ya les agradezco las respuestas!
PD: el exámen lo tengo el miércoles...
Hola, a ver te doy una mano con el 2do. ejercicio.
EJERCICIO 2.
\[2xy-4x=1\]
Siendo:
\[a=0 \wedge b=2 \wedge c=0 \wedge d=-4\]
Planteás la matriz de la cual tenés que hallas los autovalores para luego poder rototrasladar la ecuación original.
\[A=\begin{pmatrix}a& \frac{b}{2}\\ \frac{b}{2} & c\end{pmatrix}\]
\[A=\begin{pmatrix}0& 1\\ \1 & 0\end{pmatrix}\]
Hallás autovalores:
\[\begin{vmatrix}-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix}=\lambda^2-1=0\]
\[\lambda^2=1 \to \lambda_1=1 \wedge \lambda_2=-1\]
Ahora autovectores:
Para \[\lambda=-1\]:
\[\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \to y=-x \to \bar{v}_{\lambda=-1}=(1,-1)\]
Para \[\lambda=1\]:
\[\begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \to y=x \to \bar{v}_{\lambda=1}=(1,1)\]
Y ahora armás la nueva cónica:
\[\begin{pmatrix}x' & y'\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x' & y'\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-4\\ 0\end{pmatrix}=1\]
Resolvés esa operación y obtenés la cónica buscada.
Saludos!
PD.: Si hay algún error de cuentas avisame.
PD.: Si no me equivoco te da una hipérbola, desplazada del origen respecto del eje \[x\]
Si tenés idea de cuánto tiene que dar y no da esto que me da a mi, subí el resultado
Ejercicio 1:
Para hallar la base canónica desde una Matríz en otras bases hacés el camino inverso al que harías para convertirla en esas bases...
Entonces:
\[B2 . Mb1b2 . B1^{-1}\]
\[\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\bigr) * \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0\end{smallmatrix}\bigr) * X\]
Puse X así desarrollo ahora, voy a hacer la inversa de B1 por el método de la matriz adjunta
Primero hacés la traspuesta y te queda:
\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}\]
Después la adjunta y la dividís por el det(A) que da 1 en este caso, y te queda:
\[X= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 &-1 &1 \end{pmatrix}\]
Ahora meto esto en donde dejé la X más arriba y al hacer las cuentas te queda la matriz:
\[\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0\end{smallmatrix}\bigr)\]
entonces:
\[\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0\end{smallmatrix}\bigr)* \bigl(\begin{smallmatrix}x\\ y\\z \end{smallmatrix}\bigr) = {x,2x}\]
Espero esté bien... sino avisá
Muchas Gracias! Fueron de mucha ayuda! Saludos![/align]