UTNianos

Bueno, estuve haciendo ejercicios y hay mil que no me salen...
Los subo todos... si alguien quiere resolver alguno se lo agradecería

1) Dada la matriz A: (1,0,a), (b,1,0), (0,-1,1) (puestos en filas)
a) Qué relación deben cumplir las constantes a y b para que la dimensión del subespacio solución Sh= {XeR3/AX =N} sea igual a 1 y encuentre dicha solución. (solución: ab=1; Sh = {(x,y,z)eR3/ (x,y,z) = (-a,1,1)t ^ teR})


2) Dada la función: F:R3->R3/F(x)= AX con A = (2,1,1), (0,1,1), (0,0,0) (en filas)
a) Encuentre el conjunto imágen de la función y justifique por qué es un subespacio del codominio. (solución: Im(F) = {(x,y,z)eR3/z=0} plano que contiene al orígen)
b)Halle todos los vectores cuya imágen es el mismo vector (AX=X). Cuál es la interpretación geométrica? (Solución: {(x,y,z)eR3/(x,y,z) = (1,-1,0)t ^ teR} recta que contiene al orígen)


3)Halle la expresión analítica de una TL R3->R3 tal que:
Nu(t) = gen {(-2,1,0)}, Img(t): vectores posición incluidos en el plano pi: x+2y-3z=0 (solución, una de ellas es: T: R3->R3/T(x,y,z) = (3x+6y+2z, -z, x+2y))

Y tengo dos más pero no los quiero agobiar (?)

De ser posible escriban la mayor cantidad de cuentas posibles, porque los planteos creería que los tengo bien.... y no se si me estoy confundiendo en cuentas, o en planteo o si está mal la solución -_-
Gracias!!!

EJERCICIO 1.


\[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & a\\ b & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\]

\[dim(S)=1\]


Para hacer este ejercicio lo que tenés que saber si o sí es:

\[dim(S)=ran(A)=1\] (La dimensión del subespacio es igual al rango de la matriz).


Para ello, tenés que aplicar (al menos yo lo hago así) Gauss Jordan en la matriz \[A\]. Como no sé utilizar ese método con Latex, lo que voy a hacer es poner como me queda la matriz después de aplicarlo:

\[\begin{pmatrix}1 & 0 & a\\ b & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1-ab & 0 & a\\ 0 & 1-ab & 0\\ 0 & 0 & 1-ab\end{pmatrix}\]


Obviamente va a diferir dependiendo de los pivotes que elijas. Algo que tenés que tener muy en claro es tratar de no eliminar las constantes \[a\] y \[b\]. Para lograr ésto, no trabajes con pivotes iguales a \[1\]. Usá los pivotes que te queden, ejemplo en mi último paso lo que hice fue utilizar como pivote a \[1-ab\] de manera tal que ésta "ecuación" (por así decirlo) me quedó repetida en todas las columnas.


Bueno, ahora es fácil. ¿Qué tiene que pasar para que la matriz \[A\] tenga rango igual a \[1\]? Sí, hay que igualar \[1-ab\] a \[0\].

Entonces:

\[1-ab=0 \to ab=1\].

Fijate que si reemplazás eso en la matriz que me quedó después de haber utilizado Gauss-Jordan, quedaría:

\[\begin{pmatrix}0 & 0 & a\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]

Es decir \[ran(A)=1\]. Por ende se cumple que \[dim(S)=1\].

Saludos!

PD.: Si hay alguna forma de realizar el método Gauss-Jordan acá en el foro, diganme que lo hago así se entiende mejor.

Hola julita

1) otra manera a la propuesta por maty, por el enunciado sabemos que la matriz es

\[A=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{a}\\{b}&{1}&{0}\\{0}&{-1}&{1}\end{pmatrix}\]

si pivoteamos la primer fila de la matriz obtenemos

\[A=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{a}\\{0}&{1}&{-ab}\\{0}&{-1}&{1}\end{pmatrix}\]

aplicando determinante \[|A|=1-ab\] la solucion de un sistema homogeneo es siempre SCD, o sea dimension 3 aca nos estan pidiendo que el sistema sea SCI, o sea dimension distinta de 3, para que

suceda eso, entonces \[|A|=0\Longrightarrow{ab=1}\]

Para el siguiente item, abemos que

\[AX=N\Longrightarrow{\begin{Bmatrix}{x+az=0\\ bx+y=0 \\ -y+z=0\end{matrix}}\]

despejeando de manera adecuada obtenemos

\[\begin{Bmatrix}{ x=-az \\ y=-baz\\ z=y\end{matrix}\]

con la condicion \[ab=1 \Longrightarrow{S_h=\left\{(x,y,z)\in{R^3}/ (-a,-1,-1)z \quad z\in{R}\right\}\]

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Para el segundo la TL se define como

\[f:R^3\longrightarrow{R^3}/f(x,y,z)=\begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\overline{X}\]

Aplicando la definicion de imagen obtenemos

\[\begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\overline{X}=(a,b,c)^t\]

de donde se deduce que c=0 por lo tanto el conjunto imagen se define como

\[Im (f)=\left\{x\in{R^3}/c=0\right\}\] plano que contiene al origen

Para el segundo item, simplemente es usar lo que nos dan como dato

\[AX=X\Longrightarrow{\begin{Bmatrix} 2x+y+z=x\\y+z=y\\0=z \end{matrix}}\]

despejando de manera habitual obtenes que \[y=-x \wedge z=0\] con lo cual obtenes

\[S=\left\{x\in{R^3}/x(1,-1,0)\quad x\in{R}\right\}\]

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para el tercero son infintas TL por eso te piden que halles una, el resultado varia dependiendo de que bases estes eligiendo en el espacio de salida

Disculpa, en un sistema homogeneo la solución puede ser SCD o SCI, creo que no varía en nada a tu resolución saga pero puede ser que se te chispotió? o hablo incoherencias? (ejercicio 1)

(19-02-2012 03:00)Feer escribió: [ -> ]Disculpa

No, no te disculpo,

Cita:en un sistema homogeneo la solución puede ser SCD o SCI,

la solucion de un sistema homegeneo es siempre compatible ya que por lo menos sabes que va a existir siempre la solucion trivial, sera incompatible si existe alguna restriccion sobre la matriz

asociada, como en este ejemplo.

Cita:creo que no varía en nada a tu resolución saga pero puede ser que se te chispotió?

Sin hacer la aclaracion anterior que hice, no puedo exijir que el determinante de A sea igual a cero por lo dicho anteriormente sobre los sistemas homogeneos

Cita:o hablo incoherencias?

Puede ser, dame algun ejemplo de un sistema homogeneo donde el rango de su matriz asociada sea menor a 3 o dos para hacerlo mas sencillo.....por ejemplo ???

Claro, por medio de la determinante quizás es más fácil. No se me había ocurrido. Debe ser porque soy amante de todos los método propuestos por Gauss Jajaja

xD gracias a todos, después subo máaas y máaaaas para entretenerlos (?)