30-03-2012, 13:13
Les dejo un resumen de los temas teoricos del primer parcial de esta materia, espero les sirva
1) Definición de derivada direccional
\[\\Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R^n}}, A\in{H}\ punto\ interior\ y\ \hat{u}\in{R^n}\]
\[\\se\ define\ la\ derivada\ de\ f\ en\ A\ segun\ el\ versor\ \hat{u}\ como\]
\[f'(A,\hat{u})=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(A+h\hat{u})-f(A)}{h}}\]
2) Difereciabilidad
\[\\Dada\ f: H\subset R^n\to R^n/ A\in H \ punto\ interior\ se\ dice \ que \ f\ es\ diferenciable\ en\ A\ si\]
\[f(x)=f(A)+Df(A)(x-A)+\epsilon(x)\leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to{A}}{\dfrac{\epsilon(x)}{||x-A||}}=0\]
OBS:
\[a)\ f\ diferenciable\ en\ A\ \Longrightarrow{f\in{C^0}}\ en\ A\]
\[b)\ f\ diferenciable\ en\ A\ \Longrightarrow{f}\ es\ derivable\ y\ ademas\ f'(A,\hat{u})=Df(A)\hat u\]
3) Teorema
\[Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R^n}}, f\in{C^1}\ en\ A\Longrightarrow{f}\ es\ diferenciable\ en\ A \]
4) Teorema de Taylor
\[a)\ Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}, f\in{C^1}\ en\ A\ \to\]
\[ f(x)=f(A)+Df(A)(x-A)+\epsilon(x)\leftrightarrow \lim_{x\to A}\dfrac{\epsilon(x)}{||X-A||}=0\]
\[\\b)\ Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}, f\in{C^2}\ en\ E(A)\to\]
\[\to f(x,y)=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+\]
\[+\dfrac{1}{2}\left( f''_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+f''_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2+2f''_{xy}(x_0,y_0)(y-y_0)\right)+\]
\[+\epsilon(x_0,y_0)\leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to{A}}{\dfrac{\epsilon(x,y)}{||x-A||}}=0\]
5) Teorema "Regla de la Cadena"
\[\\Dada\ g:H_1\subset{R^n\longrightarrow{R^m}}\ g\ diferenciable\ en\ A\in{H_1}\ y\ \\\\f:H_2\subset{R^m\longrightarrow{R^p}}\ f\ diferenciable\ en\ g(A) \\\\\to h=f\circ{g}\ es\ diferenciable\ en\ A\ y\ ademas\ Dh(A)=Df(g(A))\cdot Dg(A)\]
6) Teorema "Función implícita"
\[Dada\ F:H\subset{R^3\longrightarrow{R}}\quad F\in{C^1}/F(A)=0\quad\wedge\quad F'_z(A)\neq{0}\Longrightarrow\]
\[la\ ecuacion\ F(x,y,z)=0\ define\ en\ forma\ implicita\ una\ funcion \]
\[z=f(x,y)\ f\in{C^1}/f(x_0,y_0)=z_0\to\ las\ derivadas\ de\ f\ se\ obtienen\ haciendo\]
\[\\f'_x(x_0,y_0)=-\dfrac{F'_x(x_0,y_0,z_0)}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}\\\\\\ f'_y(x_0,y_0)=-\dfrac{F'_y(x_0,y_0,z_0)}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}\]
7) Definición extremos absolutos y locales
a) Dada \[f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}\quad A\in{H}\] se dice que f(A) es máximo absoluto de f si \[f(A)\geq{f(x)}\forall{x\in{H}}\]
b) Dada \[f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}\quad A\in{H}\] se dice que f(A) es máximo local de f si \[f(A)\geq{f(x)}\forall{x\in{E(A)}}\]
c) Teorema
Dada \[f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}\] f diferenciable / \[f(A)\] es extremo local \[\Longrightarrow{\nabla f(A)=\vec{0}}\]
d) Teorema
Dada \[f:H\subset{R^2\longrightarrow{R}},f\in{C^2}\] en \[E(A)/ \nabla f(A)=\vec{0}\]
1) \[det(H(A))>0 \wedge f''_{xx}(A)>0\Longrightarrow{f(A)}\] es mínimo local
2) \[det(H(A))>0 \wedge f''_{xx}(A)<0\Longrightarrow{f(A)}\] es máximo local
3) \[det(H(A))<0\Longrightarrow{f(A)}\] es punto de ensilladura
4) \[det(H(A))=0\] el teorema no concluye
8) Conjuntos de nivel
a) Curva de nivel
Dada \[f:H\subset{R^2\longrightarrow{R}}\quad k\in{R}\] se define la curva de nivel k de f
\[C_k=\left\{\bar{x}\in{R^2}/f(\overline {x})=k\right\}\]
b) Superficie de nivel
Dada \[f:H\subset{R^3\longrightarrow{R}}\quad k\in{R}\] se define como superficie de nivel k de f
\[S_k=\left\{\bar{x}\in{R^3}/f(\bar{x})=k\right\}\]
c) Teorema
Dada la curva \[C \in{R^2}\] definida como \[f(x,y)=k, f\in{C^1}/ \nabla f(x,y)\neq{0}\Longrightarrow{\nabla f(A)}\] es ortogonal a S en A
d) Teorema
Dada la superficie \[S \in{R^3}\] definida como \[f(x,y,z)=k, f\in{C^1}/ \nabla f(x,y,z)\neq{0}\Longrightarrow{\nabla f(A)}\] es ortogonal a S en A
9) Curva regular en \[R^2\]
Dada \[C\in{R^2}\] definida como \[f(x,y)=k,f\in{C^1}\] se dice que \[A\in{C}\] es un punto regular si \[\nabla f(A)\neq{\vec{0}}\]
OBS
Recta tangente \[\nabla f(A)(x-A)=0\]
10) Superficie regular en \[R^3\]
Dada \[S\in{R^3}\] definida como \[f(x,y,z)=k,f\in{C^1}\] se dice que \[A\in{S}\] es un punto regular si \[\nabla f(A)\neq{\vec{0}}\]
OBS
Plano tangente \[\nabla f(A)(x-A)=0\]
Recta normal \[\bar{X}=A+t(\nabla f(A))\quad t\in{R}\]
11) Curval regular en \[R^3\]
Dada \[C\subset{R^3}\] definida por las ecuaciones \[F(x,y,z)=k_1\quad G(x,y,z)=k_2\quad F\wedge G \in{C^1}\] se dice que
\[A\in{C}\] es un punto regular si \[v_0=\nabla F(A)\times{\nabla G(A)}\neq{\vec{0}}\]
OBS
Recta tangente \[\bar{X}=A+tv_0\quad t\in{R}\]
Plano normal \[v_0(x-A)=0\]
12) Propiedad
Dada \[f:H\subset{R^2\longrightarrow{R}},f\in{C^1}\Longrightarrow{}\] el gráfico de f es una superficie regular
Demostración
El gráfico de \[F(x,y,z)\] viene definido por la ecuación \[z=f(x,y)\] definimos entonces \[F(x,y,z)=f(x,y)-z\]
El gráfico de \[f(x,y)\] es entonces la superficie de nivel 0 de \[F(x,y,z)\] como \[f\in{C^1}\Longrightarrow{F\in{C^1}}\]
ademas \[\nabla F=(f'_x,f'_y,-1)\neq{0} \forall{x \in{}}\] en el gráfico de \[f(x,y)\] luego el gráfico de \[f(x,y)\] es una superficie
regular
OBS
Plano tangente al gráfico de \[\red f(x,y)\]
\[z=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)\]
1) Definición de derivada direccional
\[\\Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R^n}}, A\in{H}\ punto\ interior\ y\ \hat{u}\in{R^n}\]
\[\\se\ define\ la\ derivada\ de\ f\ en\ A\ segun\ el\ versor\ \hat{u}\ como\]
\[f'(A,\hat{u})=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(A+h\hat{u})-f(A)}{h}}\]
2) Difereciabilidad
\[\\Dada\ f: H\subset R^n\to R^n/ A\in H \ punto\ interior\ se\ dice \ que \ f\ es\ diferenciable\ en\ A\ si\]
\[f(x)=f(A)+Df(A)(x-A)+\epsilon(x)\leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to{A}}{\dfrac{\epsilon(x)}{||x-A||}}=0\]
OBS:
\[a)\ f\ diferenciable\ en\ A\ \Longrightarrow{f\in{C^0}}\ en\ A\]
\[b)\ f\ diferenciable\ en\ A\ \Longrightarrow{f}\ es\ derivable\ y\ ademas\ f'(A,\hat{u})=Df(A)\hat u\]
3) Teorema
\[Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R^n}}, f\in{C^1}\ en\ A\Longrightarrow{f}\ es\ diferenciable\ en\ A \]
4) Teorema de Taylor
\[a)\ Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}, f\in{C^1}\ en\ A\ \to\]
\[ f(x)=f(A)+Df(A)(x-A)+\epsilon(x)\leftrightarrow \lim_{x\to A}\dfrac{\epsilon(x)}{||X-A||}=0\]
\[\\b)\ Dada\ f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}, f\in{C^2}\ en\ E(A)\to\]
\[\to f(x,y)=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+\]
\[+\dfrac{1}{2}\left( f''_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+f''_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2+2f''_{xy}(x_0,y_0)(y-y_0)\right)+\]
\[+\epsilon(x_0,y_0)\leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to{A}}{\dfrac{\epsilon(x,y)}{||x-A||}}=0\]
5) Teorema "Regla de la Cadena"
\[\\Dada\ g:H_1\subset{R^n\longrightarrow{R^m}}\ g\ diferenciable\ en\ A\in{H_1}\ y\ \\\\f:H_2\subset{R^m\longrightarrow{R^p}}\ f\ diferenciable\ en\ g(A) \\\\\to h=f\circ{g}\ es\ diferenciable\ en\ A\ y\ ademas\ Dh(A)=Df(g(A))\cdot Dg(A)\]
6) Teorema "Función implícita"
\[Dada\ F:H\subset{R^3\longrightarrow{R}}\quad F\in{C^1}/F(A)=0\quad\wedge\quad F'_z(A)\neq{0}\Longrightarrow\]
\[la\ ecuacion\ F(x,y,z)=0\ define\ en\ forma\ implicita\ una\ funcion \]
\[z=f(x,y)\ f\in{C^1}/f(x_0,y_0)=z_0\to\ las\ derivadas\ de\ f\ se\ obtienen\ haciendo\]
\[\\f'_x(x_0,y_0)=-\dfrac{F'_x(x_0,y_0,z_0)}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}\\\\\\ f'_y(x_0,y_0)=-\dfrac{F'_y(x_0,y_0,z_0)}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}\]
7) Definición extremos absolutos y locales
a) Dada \[f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}\quad A\in{H}\] se dice que f(A) es máximo absoluto de f si \[f(A)\geq{f(x)}\forall{x\in{H}}\]
b) Dada \[f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}\quad A\in{H}\] se dice que f(A) es máximo local de f si \[f(A)\geq{f(x)}\forall{x\in{E(A)}}\]
c) Teorema
Dada \[f:H\subset{R^n\longrightarrow{R}\] f diferenciable / \[f(A)\] es extremo local \[\Longrightarrow{\nabla f(A)=\vec{0}}\]
d) Teorema
Dada \[f:H\subset{R^2\longrightarrow{R}},f\in{C^2}\] en \[E(A)/ \nabla f(A)=\vec{0}\]
1) \[det(H(A))>0 \wedge f''_{xx}(A)>0\Longrightarrow{f(A)}\] es mínimo local
2) \[det(H(A))>0 \wedge f''_{xx}(A)<0\Longrightarrow{f(A)}\] es máximo local
3) \[det(H(A))<0\Longrightarrow{f(A)}\] es punto de ensilladura
4) \[det(H(A))=0\] el teorema no concluye
8) Conjuntos de nivel
a) Curva de nivel
Dada \[f:H\subset{R^2\longrightarrow{R}}\quad k\in{R}\] se define la curva de nivel k de f
\[C_k=\left\{\bar{x}\in{R^2}/f(\overline {x})=k\right\}\]
b) Superficie de nivel
Dada \[f:H\subset{R^3\longrightarrow{R}}\quad k\in{R}\] se define como superficie de nivel k de f
\[S_k=\left\{\bar{x}\in{R^3}/f(\bar{x})=k\right\}\]
c) Teorema
Dada la curva \[C \in{R^2}\] definida como \[f(x,y)=k, f\in{C^1}/ \nabla f(x,y)\neq{0}\Longrightarrow{\nabla f(A)}\] es ortogonal a S en A
d) Teorema
Dada la superficie \[S \in{R^3}\] definida como \[f(x,y,z)=k, f\in{C^1}/ \nabla f(x,y,z)\neq{0}\Longrightarrow{\nabla f(A)}\] es ortogonal a S en A
9) Curva regular en \[R^2\]
Dada \[C\in{R^2}\] definida como \[f(x,y)=k,f\in{C^1}\] se dice que \[A\in{C}\] es un punto regular si \[\nabla f(A)\neq{\vec{0}}\]
OBS
Recta tangente \[\nabla f(A)(x-A)=0\]
10) Superficie regular en \[R^3\]
Dada \[S\in{R^3}\] definida como \[f(x,y,z)=k,f\in{C^1}\] se dice que \[A\in{S}\] es un punto regular si \[\nabla f(A)\neq{\vec{0}}\]
OBS
Plano tangente \[\nabla f(A)(x-A)=0\]
Recta normal \[\bar{X}=A+t(\nabla f(A))\quad t\in{R}\]
11) Curval regular en \[R^3\]
Dada \[C\subset{R^3}\] definida por las ecuaciones \[F(x,y,z)=k_1\quad G(x,y,z)=k_2\quad F\wedge G \in{C^1}\] se dice que
\[A\in{C}\] es un punto regular si \[v_0=\nabla F(A)\times{\nabla G(A)}\neq{\vec{0}}\]
OBS
Recta tangente \[\bar{X}=A+tv_0\quad t\in{R}\]
Plano normal \[v_0(x-A)=0\]
12) Propiedad
Dada \[f:H\subset{R^2\longrightarrow{R}},f\in{C^1}\Longrightarrow{}\] el gráfico de f es una superficie regular
Demostración
El gráfico de \[F(x,y,z)\] viene definido por la ecuación \[z=f(x,y)\] definimos entonces \[F(x,y,z)=f(x,y)-z\]
El gráfico de \[f(x,y)\] es entonces la superficie de nivel 0 de \[F(x,y,z)\] como \[f\in{C^1}\Longrightarrow{F\in{C^1}}\]
ademas \[\nabla F=(f'_x,f'_y,-1)\neq{0} \forall{x \in{}}\] en el gráfico de \[f(x,y)\] luego el gráfico de \[f(x,y)\] es una superficie
regular
OBS
Plano tangente al gráfico de \[\red f(x,y)\]
\[z=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)\]
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