UTNianos

Determine para que valores de k ( perteneciente a todos los reales ), las rectas r y s son alabeadas, siendo:

r: {x - y + z = 0
2x - y + z = 2} planos intersectados.


s: determinada por los puntos (3,2,4) y (k,0,k)

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Les comento hasta donde llegue a hacer:

Primero que nada se que el producto vectorial normal de cada plano es igual al vector director de la recta r.
haciendo cuentas me dio : (0,1,1)

Luego para hallar un punto de la recta iguale a Z = 0 ( suponiendo para poder hallar un punto cualquiera de la recta )
reemplazo en cada ecuacion del plano y haciendo cuentas y demas me dio:
x = 2, y = 2 y z = 0 ( los reemplaze cada valor en la ecuacion aver si satisfacia la igualdad )

Entonces la ec vectorial de la recta r: (x,y,z) = ( 2,2,0 ) + \[\alpha \](0,1,1)

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Ahora vamos por la recta s:

yo tengo 2 puntos y se que estan perteneciendo a la recta.
como sabemos por la formula de que el vector P1P2 = \[\beta \]U\[_{2}\] ( Vector punto1,punto2 = Beta. vector director de s )

P1P2 = \[\beta \]U\[_{2}\]
(3,2,4) - (k,0,k) = \[\beta \]U\[_{2}\]
(k-3, -2, k-4 ) = \[\beta \]U\[_{2}\]

Entonces la ec. vectorial de la recta s: (x,y,z) = (3,2,4) + (k-3 , -2, k-4 )

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lo paso a la forma parametria las dos rectas ( solo por convencion ):

r : x = 2
y = 2 + \alpha
z = \alpha

s: x = k
y = 0
z = k

iguale la x,y,z de la recta r y s. Me quedo que K NO puede valer 2 y -2 sino se estarian cortando en algun punto...

Pero en la guia dice: K \[\neq \] 10/3, el punto es (2,8,6)


Me rindo....


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Hola! Te edité el título así queda más feliz!

Para que dos rectas sean alabeadas, tenés que plantear que el producto vectorial entre el vector director de r, el vector director de s y el punto P1P2 sea distinto de cero: (si es cero son coplanares).


(0,1,1) ) : vector director de r
(k-3 , -2, k-4 ) : vector director de s
(1, 0, 4 ) : este punto lo obtuve de hacer el punto de s menos el punto de r

Si resolvés ese producto vectorial, te va a salir bien.

Da k distinto de 10/3, yo lo hice ayer!

En este caso hay que resolver un producto mixto ? O productos vectoriales entre si ? Porque para la coplanaridad se utiliza el mixto

kp22, por que en la recta S cuando haces la cartesiana parametrica no pones el vector director??? te falta una constante. Deberias tener tres incognitas a la hora de resolver el sistema.

No se que tendra que ver el producto mixto en este ejercicio, no es necesario utilizarlo.

Pero para que tres vectores no nulos sean coplanares es si su producto mixto es igual a 0 y no sus productos vectoriales. Así lo tengo anotado comp definición que dicto la profe.

Solo hay q hacer producto vectorial de los 3 vectores entonces ?

Pero en ninguna parte de la consigna dice que tienen que ser coplanares, no entiendo de donde surge eso.

Una vez que se pasan las dos rectas a cartesianas parametricas, se hace el sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas y ahi se averigua el valor de K.

El planteo esta bien kp22, salvo que te falto un parametro cuando definis la recta s, solo hay que aplicar la definicion

dadas dos rectas

\[\\r: A+\alpha u\\ s: B+\lambda v\]

si no son alabeadas entonces

\[AB\cdot(u\times v)=0\]

si son alabeadas entonces

\[AB\cdot(u\times v)\neq0\]

Editado: gracias oreo_dorada

Ahhh eso me faltaba averiguar el vector AB ....
Y lo de la coplanaridad ni se me ocurrió.
Gracias maaan posta que me resolvisteis todas las dudas jaja

Che mardo, ya se que no me lo pide la consigna pero me ayuda para saber si son coplanares o no, así se que no tiene un punto de interseccion

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Y saga tengo una pregunta la condición de coplanaridad me dice si están en un mismo plano o no pero ahora como se si son alabeadas o paralelas jaja
Además ese vector AB, es un vector que puede estar en el espacio o en un plano dependiendo si me da 0 o no el producto mixto me imagino ... O lo que pusiste ahí es una definición ?

(02-05-2012 21:12)Silver escribió: [ -> ]Y saga tengo una pregunta la condición de coplanaridad me dice si están en un mismo plano o no pero ahora como se si son alabeadas o paralelas jaja
Además ese vector AB, es un vector que puede estar en el espacio o en un plano dependiendo si me da 0 o no el producto mixto me imagino ... O lo que pusiste ahí es una definición ?

Si bien es una definicion, sale del razonamiento, fijate que de los puntos de ambas rectas formo un vector AB, ese vector me indica que hay una cierta distancia entre las dos rectas, ahora pensa un poco, si el producto mixto me da 0, entonces esos tres vectores estan incluidos en un mismo plano, las rectas seran paralelas, coincidentes o como quieras, pero siempre en el mismo plano,

En cambio si el producto mixto me da distinto de 0, , entonces el vector AB me esta indicando que hay una distancia entres ambas rectas, pero en este caso cada recta estara incluida en un plano diferente, a una distancia D que me define el vector AB.

lo ves ?

Se lo veo. Osea ese vector es un vector formado por dos puntos de cada vector y ese seria el punto de intersección si no fuesen alabeadas. Pero como te das cuenta que ese vector es el único que une a esas dos rectas, porque si llegase a existir otro vector que uniese a las dos rectas no seria alabeadas

Para empezar no estoy formando un vector con los dos puntos de otro vector, estoy formando un vector u con los puntos correspondientes a cada recta que tienen asociado, un vector director .

A ver vamos a un ejemplo "grafico" toma una hoja de tu carpeta y pone dos biromes encima, cada una va a representar una recta, siempre en la misma hoja, como sabes una recta esta formada por infinitos puntos, imaginemos que cada punto de cada birome yo lo puedo unir con una otra recta, como estan en la misma hoja, yo puedo tomar n rectas que unan las dos biromes, pero siempre van a estar en la misma hoja, si aplico producto mixto, el resultado siempre va a ser 0, porque todos esos puntos que utilize para armar la recta que una las dos biromes estan siempre en al misma hoja.

Ahora si tomo otra hoja y la ubico a una distancia D por encima (o por abajo) de la primera hoja , y en cada una pongo una sola birome ... que pasa, los infinitos puntos que unen las dos biromes ya no estan en la misma hoja, de hecho para llegar de la hoja sobre la mesa a la que esta encima de ella, tenes que "subir" por los puntos que formen una recta que una ambas biromes, si aplicas producto mixto con todas las n rectas que utilize para unir las biromes el resultado seguro va a ser distinto de 0, por estar ambas birones en hojas distintas.

Yo te digo la manera en que lo razone, y vimos en clase.

Lo primero que haces es buscar el vector director de la recta R (haciendo el producto vectorial de los normales de los planos dados). Despues buscas un punto eliminando una variable para comodidad tuya, es decir, diciendo que X,Y o Z vale 0, asi queda un sistema de ecuaciones de 2 incognitas.

Despues en S planteas el vector formado por los puntos que te dan (k,0,k) y (3,2,4), formando el vector V (k-3,-2,k-4), y sabiendo que las rectas R y S son alabeadas entonces su distancia va a ser distinta a 0. Ahora te fijas si el vector V y el vector director de la recta R son paralelos; esto lo haces fijandote si son proporcionales. Demostras que no lo son. Entonces tenes que demostrar que se cortan para eso haces el producto mixto entre el director, el vector V y el punto que buscaste al principio (cuando eliminaste la variable, te dio un punto P0 y para hacerlo vector haces A - P0 y te qeuda el vector P0A). Haces el producto mixto y te va a quedar que -3k + 10 es distinto que 0....despejas y llegas al resultado. Despues buscas el punto que pide.

Para no crear otro post al pedo. ¿Me ayudan con el ejecicio 20 de la misma guia?. Estoy bloqueado y no me sale