1) Para el primero, nos los valores de b para que T no sea epimorfismo que es lo mismo decir que el rango de la matriz asociada a T sea menor a 3, para esto , necesariamente el determinante
de M(T)debe ser igual a 0
a) \[|det(M(T))|=2(-2b+b^2)-4(2+b)-4(0)=2b^2-8b+8=0\to b=2\]
si analizamos cuando \[b=2\to Rg(M(T))<3\] entonces T no es epimorfiismo por lo que \[\boxed{ b=2 }\]
b) Como nos piden la TL inversa, una manera, de encarar el ejercicio es la siguiente
Hallamos la inversa de M(T)
\[M(T)_{E'E}^{-1}=\begin{pmatrix}0 &1 &0 \\\\ 1/4 &-1 &1/2 \\\\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\]
tomando un vector generico \[v=c+bx+ax^2\] y hacemos la combinacion lineal con la base canonica de P2
\[c+bx+ax^2=\alpha(1)+\beta(x)+\lambda(x^2)\to c=\alpha\quad \beta=b\quad a=\lambda\]
donde las coordenadas del vector en base \[ E' =(c,b,a)^t\] multiplicando por la matriz inversa, y realizando la combinacion lineal con la base canonica de \[R^3\] obtenemos
salvo error de cuentas
\[\boxed{T^{-1} : P_2\to R^3/T^{-1}(c+bx+ax^2)=\left ( b,\frac{1}{4}c-b+\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}a \right )}\]
solo es reemplazar el polinomio dado en la expresión analitica en la inversa de T
4) La curva parametrizada corresponde al grafico de una elipse sobre el plano xz \[\boxed{C=\left\{\begin{matrix}y=0 \\\\ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{z^2}{9}=1 \end{matrix}\right.}\]
en la superficie \[S: Ax^2-y^2+Bz^2=D\] haciendo las respectivas cuentas..
\[\dfrac{x^2}{\dfrac{D}{A}}+\dfrac{y^2}{\dfrac{D}{B}}=1\to \frac{D}{A}=4\quad \frac{D}{B}=9\]
donde deducimos que \[\boxed{A=\frac{D}{4}\quad B=\frac{D}{9}}\]
reemplazando en \[S:\frac{D}{4}x^2-y^2+\frac{D}{9}z^2=D\] tenemos el punto \[(0,1,6)\] podemos determinar todas las constantes,
\[\boxed{D=\frac{1}{3}\quad A=\frac{1}{12}\quad B=\frac{1}{27}}\]
los demas no creo que tengan problemas en encararlos
