25-07-2012, 04:59
Les paso el final resuelto tomado ayer
![[Imagen: final_24_07_2012b.jpg]](https://camo.utnianos.com.ar/561dbdae696899f1537cdd15117b29d9bb5fdf7a/687474703a2f2f616e616c69736973322e66696c65732e776f726470726573732e636f6d2f323031322f30372f66696e616c5f32345f30375f32303132622e6a7067)
T1) De los datos sabemos que \[\iiint_V div f dV=32\pi\quad div f=3\]
para no confundir notacion defino \[x^2+y^2+z^2=R^2\] donde R es lo que me piden hallar, utilizando coordenadas esfericas
\[g:R^3\to R^3/g(r,\omega,\theta)=(r\cos\omega\cos\theta,r\cos\omega\sin\theta,r\sin\omega)\quad Dg=r^2\cos\omega\]
\[\omega\in\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\quad \theta\in\left [ 0,2\pi \right ]\]
la integral a resolver es
\[\int_{0}^{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{R} 3r^2\cos\omega drd\omega d\theta=4\pi R^3\]
de donde
\[4\pi R^3=32\pi\to R=2\]
E1) Sale por definicion, hallamos el punto B que sale de la interseccion
\[(2+3t^2)t+3=t+3\to t=0\to B=(2,0,3)\]
sabemos que \[\omega=\int_C fds=\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)dt\]
g es la curva que ya nos la dan parametrizada, asi que no hay mucho que pensar, haciendo las cuentas la integral a evaluar es
\[\int_{1}^{0}18t^4+14t^2+3t dt=-\frac{293}{30}\]
Fisicamente el campo propuesto frena el fluido
E2) Sale por cartesianas, por definicion
\[m=\iiint_V \delta(x,y,z)dxdydz\quad \delta(x,y,z)=k|y|\]
de donde la integral a evaluar es
\[m=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\int_{4-2x}^{4-x^2}y dzdydx=\frac{4}{5}k\]
el modulo no va porque y es mayor que 0
E3) por definicion \[f(x,y)=\nabla\phi(x,y)=(2x-2,2)=(P,Q)\]
por defnicion de linea de campo \[\frac{dy}{dx}=\frac{Q}{P}\]
entonces
\[\int dy=\int \frac{2}{2x-2}dx\to y(x)=ln|x-1|+c\] curva que pasa por el \[(0,2)\] entonces
la curva pedida \[y(x)=ln|x-1|+2\]
E4) Lo hago por definicion \[\nabla h(x,y)=\nabla f(g(x,y))\nabla g(x,y)\]
aproximo el punto punto por \[A=(2,4)\]
defino \[g(x,y)=(xy,x+z)\quad f(x,y)=4x-2y\]
\[\nabla h(2,4)=\nabla f(g(2,4))\nabla g(2,4)=\nabla f(8,6)\nabla g(2,4)\]
de donde
\[\nabla h(2,4)=(4,2)\cdot \begin{pmatrix} y &x \\\\ 1& 1\end{pmatrix}_{(2,4)}=(4,2)\cdot \begin{pmatrix} 4 &2 \\\\ 1& 1\end{pmatrix}=(18,10)\]
sabemos que \[h(2,4)=f(g(2,4))=f(8,6)=44\]
entonces
\[h(x,y)=44+18(x-2)+10(y-4)\]
finalmente
\[h(2,02;3,99)=44+18(2,02-2)+10(3,99-4)\approx 44,26\]
Cualquier duda.gif ";)")
T1) De los datos sabemos que \[\iiint_V div f dV=32\pi\quad div f=3\]
para no confundir notacion defino \[x^2+y^2+z^2=R^2\] donde R es lo que me piden hallar, utilizando coordenadas esfericas
\[g:R^3\to R^3/g(r,\omega,\theta)=(r\cos\omega\cos\theta,r\cos\omega\sin\theta,r\sin\omega)\quad Dg=r^2\cos\omega\]
\[\omega\in\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\quad \theta\in\left [ 0,2\pi \right ]\]
la integral a resolver es
\[\int_{0}^{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{R} 3r^2\cos\omega drd\omega d\theta=4\pi R^3\]
de donde
\[4\pi R^3=32\pi\to R=2\]
E1) Sale por definicion, hallamos el punto B que sale de la interseccion
\[(2+3t^2)t+3=t+3\to t=0\to B=(2,0,3)\]
sabemos que \[\omega=\int_C fds=\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)dt\]
g es la curva que ya nos la dan parametrizada, asi que no hay mucho que pensar, haciendo las cuentas la integral a evaluar es
\[\int_{1}^{0}18t^4+14t^2+3t dt=-\frac{293}{30}\]
Fisicamente el campo propuesto frena el fluido
E2) Sale por cartesianas, por definicion
\[m=\iiint_V \delta(x,y,z)dxdydz\quad \delta(x,y,z)=k|y|\]
de donde la integral a evaluar es
\[m=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\int_{4-2x}^{4-x^2}y dzdydx=\frac{4}{5}k\]
el modulo no va porque y es mayor que 0
E3) por definicion \[f(x,y)=\nabla\phi(x,y)=(2x-2,2)=(P,Q)\]
por defnicion de linea de campo \[\frac{dy}{dx}=\frac{Q}{P}\]
entonces
\[\int dy=\int \frac{2}{2x-2}dx\to y(x)=ln|x-1|+c\] curva que pasa por el \[(0,2)\] entonces
la curva pedida \[y(x)=ln|x-1|+2\]
E4) Lo hago por definicion \[\nabla h(x,y)=\nabla f(g(x,y))\nabla g(x,y)\]
aproximo el punto punto por \[A=(2,4)\]
defino \[g(x,y)=(xy,x+z)\quad f(x,y)=4x-2y\]
\[\nabla h(2,4)=\nabla f(g(2,4))\nabla g(2,4)=\nabla f(8,6)\nabla g(2,4)\]
de donde
\[\nabla h(2,4)=(4,2)\cdot \begin{pmatrix} y &x \\\\ 1& 1\end{pmatrix}_{(2,4)}=(4,2)\cdot \begin{pmatrix} 4 &2 \\\\ 1& 1\end{pmatrix}=(18,10)\]
sabemos que \[h(2,4)=f(g(2,4))=f(8,6)=44\]
entonces
\[h(x,y)=44+18(x-2)+10(y-4)\]
finalmente
\[h(2,02;3,99)=44+18(2,02-2)+10(3,99-4)\approx 44,26\]
Cualquier duda
