Hola, recurro a su ayuda para poder resolver el ejercicio 14 de la unidad 5: Diferenciabilidad - Plano tangente y recta normal.
El enunciado es el siguiente:
Sea \[f \epsilon {C}'\], si \[{f}'(\overline{A}, (3,4)) = 4\] y \[{f}'(\overline{A}, (2,7)) = -6\].
a) Calcule \[{f}'(\overline{A}, (5,9))\].
b) Determine el valor de la derivada direccional máxima de \[f\] en \[\overline{A}\].
c) Sabiendo que \[f(\overline{A}) = 3\], calcule en forma aproximada \[f(\overline{A} + (0.001,-0.02))\].
Agradezco a quien pueda darme una mano con este ejercicio.
Saludos.
Por ser f clase 1 entonces es diferenciable por lo tanto
\[f'(A,r)=\nabla f(A)r\]
como sabes el gradiente tiene en sus filas y columnas las derivadas respecto a cada variable de f, por comodidad en notacion llamo a y b a esas derivadas, entonces
\[f'(A,(3,4))=\nabla f(A)(3,4)=(a,b)(3,4)=4\]
\[f'(A,(2,7))=\nabla f(A)(2,7)=(a,b)(2,7)=-6\]
sistema de dos ecuaciones y dos incognitas a resolver,
Fijate si con este dato podes terminar el ejercicio, los demas items estan van en funcion del resultado de este, si no te sale pregunta
Muchas gracias, la verdad es que era bastante fácil. No se me ocurrió encararlo a partir del dato que f era clase C1.
Los primeros dos ítems me salieron bien. En cuanto al tercer ítem, supuestamente debo hacerlo sin usar el polinomio de Taylor (dado que en el orden de la guía, éste es un tema posterior).
Se me ocurrió usando la recta tangente, pero el dato de f(A) = 3 no sabría como usarlo.
¿Tenés alguna sugerencia?
Gracias.
Bueno, el ítem c lo terminé resolviendo con una aproximación lineal. Por los datos que se tienen no queda otra manera de resolverlo.
Muchas gracias Saga por la ayuda.
Por ser f difenciable entonces
\[f(A+h)=f(A)+\nabla f(A)h\]
si te fijas \[f(A+h)=f(A+(0,01;-0,02))=3+\nabla f(A)(0,01;-0,02)\]
ahi enganchas el dato del item 1
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Sí, así lo había resuelto. Muchas gracias por la ayuda.
No entiendo como armar el b, que pide derivada direccional máxima :/
Por definicion la direccional maxima es el modulo del vector gradiente en A, o sea
\[f'_{max}=||\nabla f(A)||\]
Resolviendo el item a) obtenes el gradiente de f en A, para el item b) solo aplica la definición.