Hola gente, como andan?
Bueno estaba practicando ejercicios de la guia de TL y hay dos que no me sale. Estos dicen:
1.
Halle la expresion analitica de la siguiente transformacion (\[\mathbb{R}^{2}->\mathbb{R}^{2}\])
Rotacion de un angulo de \[-\frac{\pi }{3}\]
2. Halle la expresion analitica de las siguiente transformaciones (\[\mathbb{R}^{3}->\mathbb{R}^{3}\])
a) Reflexion respecto del plano x = y.
b) Reflexion respecto del plano y + z = 0.
La verdad no se como resolverlos. ¿Quien me da una mano?
Saludos!
1) supongo que es una rotación en la bases canonicas, con centro en el origen, tomando (1,0) si lo rotas un angulo \[\alpha=-\frac{\pi}{3}\]
tenes que
\[T(1,0)=(\cos\alpha,-\sin\alpha)\]
tomando el (0,1) rotandolo el mismo angulo tenés
\[T(0,1)=(\sin\alpha,\cos\alpha)\]
de donde la matriz de la transformacion va a ser
\[T(x,y)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha &\cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\]
solo reemplaza el angulo, si no me equivoque razonandolo, deberia salir con eso el primer item.
Para los que siguen
a) si haces un dibujo del plano \[y=x\] notaras que lo que te piden es una TL que haga simetrica de los puntos del espacio, tomando la base canónica, y por observacion del dibujo
podes definir la TL pedida, el \[(0,0,1)\] se encuentra sobre el eje de simetria por lo tanto \[T(0,0,1)=(0,0,1)\], con \[z=0\] no situamos sobre el plano xy, donde el simetrico
del \[(1,0,0)\] es el \[(0,1,0)\] y viceversa, por lo tanto la matriz de la transformacion lineal es
\[T(x,y,z)=\begin{pmatrix}{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}\]
b) es análogo al anterior
(17-09-2012 20:25)Saga escribió: [ -> ]1) supongo que es una rotación en la bases canonicas, con centro en el origen, tomando (1,0) si lo rotas un angulo \[\alpha=-\frac{\pi}{3}\]
tenes que
\[T(1,0)=(\cos\alpha,-\sin\alpha)\]
tomando el (0,1) rotandolo el mismo angulo tenés
\[T(0,1)=(\sin\alpha,\cos\alpha)\]
de donde la matriz de la transformacion va a ser
\[T(x,y)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha &\cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\]
solo reemplaza el angulo, si no me equivoque razonandolo, deberia salir con eso el primer item.
Para los que siguen
a) si haces un dibujo del plano \[y=x\] notaras que lo que te piden es una TL que haga simetrica de los puntos del espacio, tomando la base canónica, y por observacion del dibujo
podes definir la TL pedida, el \[(0,0,1)\] se encuentra sobre el eje de simetria por lo tanto \[T(0,0,1)=(0,0,1)\], con \[z=0\] no situamos sobre el plano xy, donde el simetrico
del \[(1,0,0)\] es el \[(0,1,0)\] y viceversa, por lo tanto la matriz de la transformacion lineal es
\[T(x,y,z)=\begin{pmatrix}{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}\]
b) es análogo al anterior
Y bue cuando uno es groso, no hay nada que hacerle.
Gracias man!