UTNianos

Bueno, nada.. estaba mirando las hojas y me cruce con este y no me sale, tengo que calcular la integral en cartesianas, algunas ayudas?

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Gracias

para empezar sabes que en polares el resultado de la integral es \[\frac{13}{60}\pi\approx 0.680678\]

\[rdzdrd\theta=dzdydx\]

ademas por definición \[r=\sqrt{x^2+y^2}\]

bueno es solo aplicar eso mira, de

\[r\leq z\leq 2-r^2\]

aplicando la definicion, obtenes

\[\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 2-x^2-y^2\]

de \[0\leq r\leq 1\]

obtenes

\[x^2+y^2\leq 1\]

listo ahora por el dato del angulo y observacion del dibujo la integral a resolver es

\[\iiint_R f(r,\theta ,z)rdzdrd\theta=\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{2-x^2-y^2}\sqrt{x^2+y^2}dzdydx\approx 0.680678\]

podes verificarlo

Dudas:

Osea veo lo del \[0\leq r\leq 1\] y veo que queda: \[0\leq x^2+y^2\leq 1\] -> \[x^2+y^2\leq 1\]

Veo las variaciones de z lo mas bien.
Pero las otras dos variaciones...

x va entre -1 y 1?
como se que la que no va entre -1 y 1 es y?

No entiendo esa segunda parte, gracias.

(30-09-2012 01:26)Feer escribió: [ -> ]Pero las otras dos variaciones...

x va entre -1 y 1?

Asi es

Cita:como se que la que no va entre -1 y 1 es y?

porque si fuese así el angulo estaria entre \[-\frac{\pi}{2}\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}\]

ya aca el angulo va de 0 a \[\pi\] por eso tomo la parte de arriba de la circunferencia y la expreso en funcion de \[x\], y no de \[y\], entendes? por eso aclare, "por el dato del

angulo" sin ese dato no puedo definir asi como lo hice

joya lo puedo pensar entonces como si no estuviera z y pensarlo en el plano xy y sacar los limites de integración de ahí y después agregar z...?

Gracias!

Asi es o tambien si no te convence podes pensarlo de la siguiente manera, de

\[r\leq z\leq 2-r^2\]

por transitividad

\[r\leq 2-r^2\]

de donde para hallar el r

\[\\r^2+r-2=(r-1)\underbrace{(r+2)}_{>0}\leq 0\to r-1\leq 0\rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\leq 1\to x^2+y^2\leq 1\]

Dale muchas gracias!