UTNianos

Hola a todos!

No sé cómo encarar este ejercicio... Lo pensé de varias maneras y ni idea cómo hacerlo.

Acá va (es el ejercicio 6 de la Guía Complementaria):

Sean \[r:\left\{\begin{matrix}-x+y-1=0\\ x+{\color{Golden} t}z+{\color{Golden} h}=0\end{matrix}\right.\] y \[\pi: x+y+z+1=0\],
determinar los valores de t y h reales para los cuales \[r\subset \pi\].

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Aclaro, por las dudas y si no se entiende: la recta \[r \]está dada como intersección de dos planos...

No le den bola a los <br/> que aparecen...


Desde ya, gracias!

Una manera, podes considerar el sistema \[AX=B\]

\[\\-x+y=1\\x+tz=-h\\ x+y+z=-1\]

donde para que se cumplan las condiciones del enunciado, necesitas que ese sistema sea SCI, para ello

\[Rg(A)=Rg(A^*)\quad A^*=A|B \mbox{ matriz ampliada }\]


\[A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & t \\ 1& 1 &1 \end{pmatrix}\quad A^*=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & t & -h \\ 1& 1 &1 & -1\end{pmatrix}\]


Necesitamos que el \[Rg(A)<3\], podes calcular el determinante asociado a la matriz A

\[|A|=2t-1\]

para obtener un SCI exigimos que ese determinante valga 0

\[|A|=2t-1=0\to t=\frac{1}{2}\]

reemplazando el valor hallado de t en \[A^*\],

\[A^*=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & \frac{1}{2} & -h \\ 1& 1 &1 & -1\end{pmatrix}\]

pivoteando, usando gauss, sustitución o como mas te guste, en mi caso use pivote

\[\begin{pmatrix}0 & 1 & -\frac{1}{2} & 1-h\\ 1 & 0 & \frac{1}{2} & -h \\ 0& 0 &0 & -2+2h\end{pmatrix}\]

para que el \[Rg(A^*)=2\] necesariamente \[-2+2h=0\to h=1\]

Por el teorema de Rouche-frobbenius

\[R(A)=R(A^*)<3\]

por lo tanto el sistema es SCI

Creo que algo entendí, voy a probar hacerlo de nuevo y te digo...

Las respuestas que da la guía son: \[t=\frac{1}{2}\] y \[h=1\].

Gracias por responder.

Si no te quedo algo claro pregunta lo que sea necesario, a mi no me molesta.

Disculpa, créo que aplique temas que aún no viste, en que tema vas por ¿algebra?, ¿empezaste recien la cursada?

La estoy recursando.
Ya vimos todos los temas del primer parcial, que es el Jueves que viene...

Me había quedado pensando porque los primeros ejercicios de la guía complementaria son de recta y plano, y creo que debería ser planteado de otra manera, no?

(04-10-2012 13:04)ps92 escribió: [ -> ]y creo que debería ser planteado de otra manera, no?

Es lo mismo, la manera que planteé en mi primera respuesta es la forma algebráica de encarar ejercicios de recta y plano, solo trabajas con las ecuaciones de las mismas, ahora si queres verlo de un modo geómetrico.... pensá que para que la recta este incluida en el plano, entonces el director de la recta debe ser perpendicular al normal del plano.

\[d_r\perp n\to dr\cdot n=0\quad (1)\]

haciendo las cuentas

\[d_r=(t,t,-1)\quad n=(1,1,1)\]

aplicando (1)

\[ dr\cdot n=(t,t,-1)(1,1,1)=0\to 2t-1=0\to t=\frac{1}{2}\]

despues reemplaza en las ecuaciones de la recta, plantea su forma paramétrica, para obtener un punto por donde pasa la recta, basta hacer \[x=0\], de donde la paremetrica será

\[\\x=\frac{1}{2}\alpha\\y=1+\frac{1}{2}\alpha\\z=-2h-\alpha\]

para hallar h, reemplazas en la ecuación del plano

\[\frac{1}{2}\alpha+1+\frac{1}{2}\alpha-2h-\alpha=-1\to h=1\]

como veras sea de forma algebráica o geométrica obtenes los mismos valores, no es necesario resolver los ejercicios de recta y planos de manera geometrica, a no ser que te lo pida explicitamente

el enunciado, a veces una manera es mas sencilla que la otra, según como venga el ejercicio.

Muchas gracias!