El ejercicio dice:
La serie \[\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\] es convergente.
Obtenga la sucesión de sumar parciales.
Alguien tiene idea de como se hace?? Graciaaas
\[\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{(2n-1)}+\frac{B}{(2n+1)} =\frac{A(2n+1)+B(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}\]
Igualando los denominadores de la primera y última.
\[A(2n+1)+B(2n-1)=1\]
n=1/2
\[A(2*\frac{1}{2}+1)+B(2*\frac{1}{2}-1)=1 \to A(1+1)+B(1-1)=1\to 2.A=1\]
\[A=\frac{1}{2} \]
n=-1/2
\[A(2*\frac{-1}{2}+1)+B(2*\frac{-1}{2}-1)=1 \to A(1-1)+B(-1-1)=1\to -2.B=1\]
\[B=\frac{-1}{2} \]
Rearmarndo con los valores de A y B
\[\frac{\frac{1}{2}}{2n-1}+\frac{\frac{-1}{2}}{2n+1}=\frac{\frac{1}{2}}{2n-1}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1})\]
Tomamos algunos valores de An
\[A_{1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{(2-1)}-\frac{1}{(2+1)})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}\]
\[A_{2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{(4-1)}-\frac{1}{(4+1)})=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{1}{15}\]
\[A_{3}=\frac{1}{2}(\frac{1}{(6-1)}-\frac{1}{(6+1)})=\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})=\frac{1}{35}\]
Sumatoria
\[S_{1} = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})\]
\[S_{2} = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})\]
\[S_{3} = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})\]
Sacando factor 1/2:
\[S_{3} = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{7})= \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2.3+1})\]
Generalizando para Sn obtenemos la Sucesión de Sumas Parciales
\[S_{n}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2.n+1})\]
Analizando el límite con n tendiendo al infinito
\[\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2.n+1})=\frac{1}{2}\lim_{n\to \infty}(1-\frac{1}{2.n+1})=\frac{1}{2}\lim_{n\to \infty}(1-0)=\frac{1}{2}\]
CV a 1/2.