07-02-2013, 16:10
Bueno como lo dice el título estaba practicando ese tema, y me encontré con este ejercicio:
Dar la solución general y la solución particular para las condiciones iniciales dadas, luego probar por inducción los resultados:
\[a_{n}=4a_{n-1}-4a_{n-2} ; a_{0}=2 ; a_{1}=0\]
Acá va mi solución, me quede trabado en la parte de inducción:
1)
\[k_{1}=4\]
\[k_{2}=-4\]
\[x^{2}-4x+4=0\]
x=2
\[a_{n}=\alpha _{1}2^{n}+\alpha _{2}n2^{n}\] <-- Solución General
2)
n=0 -->datos
\[a_{0}=2\]
\[a_{0}=\alpha _{1}\]
\[\alpha _{1}=2\]
n=1 -->datos
\[a _{1}=0\]
\[a_{1}=2\alpha_{1}+2\alpha _{2}\]
\[2\alpha_{1}+2\alpha _{2}=0\]
\[\alpha _{2}=-2\]
\[a_{n}=2*2^{n}-2*2n^{n}\] --> Solución Particular
3)1º) n=1
\[a_{1}=0\therefore V\]
n=0
\[a_{0}=2\therefore V\]
2º)HI)n=h
\[a_{h}=2*2^{h}-2*h*2^{h}=2^{h+1}-2^{h+1}*h\]
\[a_{h-1}= 2*2^{h-1}-2(h-1)*2^{h-1}=2^{h}-2^{h}(h-1)\]
3º)TI)n=h+1
\[a_{h+1}=2*2^{(h+1)}-2*(h+1)*2^{h+1}=2^{h+2}-2^{h+2}(h+1)=2^{h+2}-2^{h+2}*h-2^{h+2}\]
\[P)a_{h+1}=4a_{h}-4a_{h-1}=4(2^{h+1}-2^{h+1}*h)-4[2^{h}-2^{h}(h-1)]=\]
\[2^{2}(2^{h+1}-2^{h+1}*h)-2^{2}[2^{h}-2^{h}(h-1)]=\]
\[2*2^{h+2}-2*2^{h+2}*h-2^{2}(2^{h}-2^{h}*h-2^{h})=\]
\[2*2^{h+2}-2*2^{h+2}*h-2^{h+2}+2^{h+2}*h-2^{h+2}=\]
\[2^{h+2}-2^{h+2}*h-2^{h+2} \therefore V\]
PD: Gracias por sus respuestas, actualice el post para que le sirva a cualquiera que tenga la misma duda que yo. Cualquier duda pregunten
Dar la solución general y la solución particular para las condiciones iniciales dadas, luego probar por inducción los resultados:
\[a_{n}=4a_{n-1}-4a_{n-2} ; a_{0}=2 ; a_{1}=0\]
Acá va mi solución, me quede trabado en la parte de inducción:
1)
\[k_{1}=4\]
\[k_{2}=-4\]
\[x^{2}-4x+4=0\]
x=2
\[a_{n}=\alpha _{1}2^{n}+\alpha _{2}n2^{n}\] <-- Solución General
2)
n=0 -->datos
\[a_{0}=2\]
\[a_{0}=\alpha _{1}\]
\[\alpha _{1}=2\]
n=1 -->datos
\[a _{1}=0\]
\[a_{1}=2\alpha_{1}+2\alpha _{2}\]
\[2\alpha_{1}+2\alpha _{2}=0\]
\[\alpha _{2}=-2\]
\[a_{n}=2*2^{n}-2*2n^{n}\] --> Solución Particular
3)1º) n=1
\[a_{1}=0\therefore V\]
n=0
\[a_{0}=2\therefore V\]
2º)HI)n=h
\[a_{h}=2*2^{h}-2*h*2^{h}=2^{h+1}-2^{h+1}*h\]
\[a_{h-1}= 2*2^{h-1}-2(h-1)*2^{h-1}=2^{h}-2^{h}(h-1)\]
3º)TI)n=h+1
\[a_{h+1}=2*2^{(h+1)}-2*(h+1)*2^{h+1}=2^{h+2}-2^{h+2}(h+1)=2^{h+2}-2^{h+2}*h-2^{h+2}\]
\[P)a_{h+1}=4a_{h}-4a_{h-1}=4(2^{h+1}-2^{h+1}*h)-4[2^{h}-2^{h}(h-1)]=\]
\[2^{2}(2^{h+1}-2^{h+1}*h)-2^{2}[2^{h}-2^{h}(h-1)]=\]
\[2*2^{h+2}-2*2^{h+2}*h-2^{2}(2^{h}-2^{h}*h-2^{h})=\]
\[2*2^{h+2}-2*2^{h+2}*h-2^{h+2}+2^{h+2}*h-2^{h+2}=\]
\[2^{h+2}-2^{h+2}*h-2^{h+2} \therefore V\]
PD: Gracias por sus respuestas, actualice el post para que le sirva a cualquiera que tenga la misma duda que yo. Cualquier duda pregunten