Hola Pamee12, tratando de expicar mejor lo que nuestro compañero Maxivc explicó
te dejo la solución con pasos detallados, de paso creo que le pueda servir a cualquiera que visite el post
primero cambiás cada término según las relaciones trigonométricas siguientes:
\[\tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}\]
y
\[\tan (a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b}\]
de esta forma nos queda:
\[\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan x}{1- \tan \frac{\pi }{4} \tan x}+\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\tan x}{1+ \tan \frac{\pi }{4} \tan x} =2\]
sacás común denominador, quedando una diferencia de cuadrados:
\[\frac{{\color{Blue} \tan \frac{\pi }{4}} + {\color{Red} \tan x} + {\color{Blue}\tan \frac{\pi }{4}} {\color{Red} -\tan x}}{1^{2}-(\tan \frac{\pi }{4} \tan x)^{2}}=2\]
Si no recordás te hago un breve repaso
\[(a+b).(a-b)=a^{2}-b^{2}\]
Siguiendo con el ejercicio, en el numerador se cancela lo marcado en rojo y queda el doble de lo que está en azul, quedando:
\[\frac{2 \tan \frac{\pi }{4}}{1^{2}-(\tan \frac{\pi }{4} \tan x)^{2}}=2\]
el denominador pasa para el otro lado y el 2 se cancela
\[{\color{Red}2 }\tan \frac{\pi }{4}={\color{Red}2 } (1^{2}-(\tan \frac{\pi }{4} \tan x)^{2})\]
quedando:
\[\tan \frac{\pi }{4}=(1^{2}-(\tan \frac{\pi }{4} \tan x)^{2})\]
Sabiendo que :
\[tan \frac{\pi }{4}=1\]
pasando el 1 restando quedaría de un lado 0:
\[0=-(\tan \frac{\pi }{4} \tan x)^{2}\]
ignorando el cuadrado y el signo menos (-) la única condición para que pase eso es que:
\[\tan x =0\]
y los valores que responden a esa ecuación son : \[0, \pi , 2\pi , 3\pi , 4\pi .....\]
la solución es :
\[k \pi \]
\[ k \epsilon \mathbb{Z}\]
Espero que te haya servido y le sirva a los demás ingresantes. Cualquier duda o error no duden en avisar
Saludos!
aplicas esa formula para cada miembro bue voy a tratar:.gif "=)")