Les paso el 1, no sé si está bien, alguno se encargará de corregir:
1) Sean los planos \[\pi :x+2y-z+1\] y \[\beta:3x+2y-2=0\] y el punto P(2,-2,3), hallar la recta R tal que R es paralela a \[\pi\], R esta incluido en \[\beta\] y P es un punto de R.
Mi recta R será de la forma R
x,y,z)=P+\[\lambda.u\] en donde P es el (2,-2,3) porque pertenece a la recta
Queda R: (x,y,z)=(2,-2,3)+\[\lambda.u\]
Ahora, como \[R // \pi\], el producto escalar entre la normal del plano y el vector director de R es igual a 0.
Planteo \[(u_{x},u_{y},u_{z}).(1,2,-1)=0 \rightarrow (u_{x}+2u_{y}-u_{z})=0\]
Entonces, un vector director que cumpla esa condición puede ser, por ejemplo, el (0,1,2)
Por lo tanto, la recta me queda
R: (x,y,z)=\[(2,-2,3)+\lambda(0,1,2) \rightarrow R //\pi, R\subset \beta, P\in R\]
Creo que es así