UTNianos

La recta que es tangente a las circunferencias es de la forma

\[r: ax+by+c=0\]

luego las distancias del centro de las circunferencias a la recta viene dada por

\[\\d((2,0),r)=\frac{|2a+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\\\\\\d((4,0),r)=\frac{|4a+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1\]

efectuando los pasajes y sustituciones necesarias..

\[\\|2a+c|=2\sqrt{a^2+b^2}\quad(*)\\\\|4a+c|=\sqrt{a^2+b^2}\quad(**)\to |2a+c|=2|4a+c|\quad (***)\]

de (***) por operaciones basicas con modulos se llega a las relaciones lineales \[\boxed{c=-6a\quad(1)\quad c=-\frac{10}{3}a\quad (2)}\]

reemplazando en (*) o en (**) el primer valor, se obtiene la relacion \[|b|=\sqrt{3}a\] el segundo da un absurdo por lo tanto se descarta ... finalmente las rectas pedidas son

\[ax\pm\sqrt{3}ay-6a=0\rightarrow \boxed{x+\sqrt{3}y-6=0\quad \vee \quad x-\sqrt{3}y-6=0}\]

Gráfico de (x-2)^2+y^2=4, (x-4)^2+y^2=1, x+\sqrt{3}y-6=0,x-\sqrt{3}y-6=0.