Buenas, estoy trabado con un ejercicio de límites que no puedo resolver. Sale de un ejercicio que pide evaluar continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad en el punto (0,1).
El límite quedaría así:
\[\lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{x^3}{x^2+(y-1)^2}\]
Cómo se resuelve?
\[x^2/ (x^2)^2 + (y-1)^2\] es una funcion acotada, por lo tanto al multiplicarla por X te da: acotado * infinitesimo= 0 y ahi termina
(01-06-2013 20:57)hc993 escribió: [ -> ]Buenas, estoy trabado con un ejercicio de límites que no puedo resolver. Sale de un ejercicio que pide evaluar continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad en el punto (0,1).
El límite quedaría así:
\[\lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{x^3}{x^2+(y-1)^2}\]
Cómo se resuelve?
es la primera vez que hago lo voy a hacer, asi que no se si esta bien , o si es pura fruta.
primero
\[y-1 = y'\]
luego
\[\lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{x^3}{x^2+(y-1)^2} = \lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{x^3}{x^2+(y')^2}\]
esta funcion es acotable. entonces la acotamos a 0, para eso aplicamos modulo
\[| \frac{x^3}{x^2+(y')^2}| = |\frac{x * x^2}{x^2+(y')^2}|\]
como los terminos elevados al cuadrado son siempre positivos
\[|\frac{x * x^2}{x^2+(y')^2}| = \frac{|x| * x^2}{x^2+(y')^2} \]
luego, por propiedad tenes que
\[x^2+(y')^2 \leq x^2\]
entonces:
\[\frac{|x| * x^2}{x^2+(y')^2}\leq \frac{|x| * x^2}{x^2}=|x| = 0\]
por lo tanto la funcion es acotada a 0, por teorema del sandwitch ese limite da 0.
te falto probar que esta acotada
, una manera: sabes que para todo x y
\[x^2\leq x^2+(y-1)^2\Leftrightarrow \frac{x^2}{x^2+(y-1)^2}\leq 1\rightarrow \boxed{0\leq \frac{x^2}{x^2+(y-1)^2}\leq 1}\]
funcion acotada entre 0 y 1
x tiende a 0 cuando el limite doble tiende a (0,0)
0 * acotada=0