UTNianos

A ver si alguien me tira una puntita.

Sean las superficies

\[z = 6-x^2\]
\[x^2+3y^2-z = 0\]

Cacular el volumen.

Buen, despejando z y trabajando los terminos queda:

\[\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\]

o sea:

\[x=\sqrt{2}r*cos(t)\]
\[y=\sqrt{3}r*sen(t)\]

ahora, el tema es como planteo la integral.

los intervalos de integracion serian:


\[6-x^2\leq z\leq x^2+3y^2\]
\[0\leq r\leq 1\]
\[0\leq\Theta \leq 2\Pi \]

y aca es donde me pareec que la cago, la integral seria:

\[\int abr dr d\Theta dz=\int_{0}^{2\Pi }\int_{0}^{1}\int_{x^2+3y^2}^{6-x^2} \sqrt{2}\sqrt{3}r.d\Theta .dr.dz\]


hasta donde puedo ver, eso no me da nada porque me quedan las variables x e y en la integral, y x e y no tienen ningun periodo de integracion

Gracias.

El problema creo que está (no me puse a hacerlo posta) en el intervalo de integracion del radio, ya que al ser una elipse, el radio varía.

La integral esta perfecta... solo que te olvidaste evaluar los limites que tenes en cartesianas en el cambio de coordenadas que propones... otra manera que es practicamente la misma pero para mi un poco mas "manejable" es calcular el volumen como

\[V=\iint_{P_xy}\left ( \int dz \right ) dxdy\]

en tu ejercicio

\[V=\iint_{P_xy}\left ( \int_{x^2+3y^2}^{6-x^2} dz \right ) dxdy=\iint_{P_xy}3y^2-2x^2+6dxdy\]

el recinto sobre el plano xy es como bien decis la elipse de ecuacion

\[R:\left \{x\in R^2/\quad \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\right \}\]

tomando coodenadas polares generalizadas

\[g:R^2\to R^2/g(r,\theta)=(\sqrt{3}r\cos\theta,\sqrt{2}r\sin\theta)\quad Dg=\sqrt{6}r\]

aplicando dicho cambio en la integral tenes

\[V=\sqrt{6}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(6r^2\sin^2\theta-6r^2\cos^2\theta+6)rdrd\theta=6\sqrt{6}\pi\]

llegue a lo mismo mientras hacia el ejercicio en la clase de algebra : success :

Gracias!