Gente necesito calcular el área de una circunferencia desplazada del origen.
En cartesianas es asi: y^2 + (x+3)^2 = 9
como hago para hacerlo en polares??
Ya que esta en el segundo y tercer cuadrante
el angulo va entre pi/2 <= a <= 3/2 pi
y el radio??
como lo relaciono con =
(integral doble de) f (r cos α, r sen α) r dr dα
??
f (r cos α, r sen α) seria = 1 ??
gracias
si tenes (x+3)^2+y^2=9
el ángulo como bien dijiste, entre pi/2 y 3/2pi
para el radio r, fijate las coordenadas, el cambio que estás haciendo
x = r cos t
y = r sen t
reemplazás las coordenadas en la ecuación de la circunferencia
(r cos t + 3)^2+r^2*(sen t)^2=9
y despejás de ahí el radio, te queda (si no flashée en las cuentas) algo como: r= - 6 cos t (fijate que el coseno es negativo en el intervalo en el que se mueve t)
como es el área que tenés que calcular, f=1, y cuando hacés la integral tenés que poner un "r", por el jacobiano, por el cambio de variable que estás haciendo para resolver la integral.
Para hacerlo mas simple toma el cambio
\[g:R^2\to R^2/g(r,\theta)=(-3+r\cos\theta,r\sin\theta)\quad Dg=r\]
de donde obtenes el área de la circunferencia por integrales dobles, remplazando el cambio propuesto en tu circunferencia, como no hay restricciones angulares tenés que
\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}rdr d\theta=9\pi\]
con el cambio
\[g:R^2\to R^2/g(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\quad Dg=r\]
como bien dijo florlon tenes que resolver
\[A=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi}\int_{0}^{-6\cos\theta}rdr d\theta=9\pi\]
los limites de integración dependen de donde tomes como centro la circunferencia, con el primer cambio que propuse, estamos tomando como centro el (-3,0), el segundo cambio toma como centro
el (0,0) por decirlo de alguna manera
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