UTNianos

Gente, les paso el recuperatorio tomado el 07-08-2013 de Matemática Discreta, no difiere mucho del parcial.


saludos!

Ese ejercicio de recurrencia...

Nada nuevo, siempre repiten ejercicos de otros parciales,finales etc

Yo propongo ir resolviéndolo entre todos

Dejo el:

Ejercicio 1
A) llegue a (-p)

[attachment=7207]

B) Solo plantie el diccionario:

p: el ADN aparece en la escena del crimen
q:el portero es el asesino
r: el portero encubre a alguien
s: el portero es el culpable

p => (q v r)
-r
-----------------
s

Ejercicio 3
C1- \[\varphi (37)\] como 37 es primo, aplicamos una propiedad \[\varphi (p)=p-1\]
\[\varphi (37)=37 - 1 = 36\]
C2- \[\varphi (16)\] como \[16 =2^{4} \] con 2 primo y 4 natural, aplico \[\varphi (p^{k})=(p-1)*p^{k-1}\]
Resulta : \[\varphi (2^{4})=(2-1)*2^{4-1}=8\]

No es la gran cosa pero copense !

Bueno, me dispongo a resolver el de recurrencia.

\[a_{n} =a_{n-1} + a_{n-2} - a_{n-3}\]

Con
\[a_{0} = 1\]
\[a_{1} = 0\]
\[a_{2} = 1\]

Acomodamos un poco y llegamos a

\[0 =-a_{n}+a_{n-1} + a_{n-2} - a_{n-3}\]
Calculamos sus raices:

\[-r^{3}+r^{2}+r-1=0\]

Obtenemos que:
\[r_{1}=1\]
\[r_{2}=1\]
\[r_{3}=-1\]

Nosotros sabemos que la Soluciones va a tener el formato de:

\[a_{n} = C_{1}r_{1}^{n}+ C_{2}nr_{1}^{n}+C_{3}r_{3}^{n}\]


Esto se debe a que hay 2 raices iguales y una distinta.

Reemplazando obtenemos que:

\[a_{n} = C_{1}1}^{n}+ C_{2}n1^{n}+C_{3}(-1)}^{n}\]

Ahora reemplazamos con los valores iniciales

\[a_{0} = C_{1}1}^{0}+ C_{2}01^{0}+C_{3}(-1)}^{0}=1\]
\[a_{0} = C_{1}+C_{3}=1\]

\[a_{1} = C_{1}1}^{1}+ C_{2}11^{1}+C_{3}(-1)}^{1}=0\]
\[a_{1} = C_{1}+ C_{2}1-C_{3}=0\]

\[a_{2} = C_{1}1}^{2}+ C_{2}21^{2}+C_{3}(-1)}^{2}\]
\[a_{2} = C_{1}+ 2C_{2}+C_{3}=1\]


Planteamos el Sistema de Ecuaciones:

\[ C_{1}+C_{3}=1\]
\[ C_{1}+ C_{2}-C_{3}=0\]
\[ C_{1}+ 2C_{2}+C_{3}=1\]

Obtenemos que:
\[C_{1}= 1/2\]
\[C_{2}= 0\]
\[C_{3} = 1/2\]

Entonces llegamos a

\[a_{n}= \frac{1}{2}1^{n}+\frac{1}{2}(-1)^{n}\]

La inducción se las dejo a ustedes.