25-09-2013, 02:00
Buenas gente.
Aca tengo una duda existencial (?
Tengo un ejercicio que dice "Sea \[f(x)=16\sqrt{x}+3 ln(x)-6\]. Calcule la derivada \[{(f^{-1})}'(10)\]."
Bueno, como yo soy rebuscado, no usé la formulita de derivada de una inversa, y propuse lo siguiente:
\[f(a)= b\]
\[{(f^{-1})}(b)=a\]
Entonces:
\[16\sqrt{x}+3 ln(x)-6 =10\]
Para x=1, f vale 10
\[f(1)= 10\]
\[{(f^{-1})}(10)=1\]
Bien, seguimos:
\[y=16\sqrt{x}+3 ln(x)-6\]
\[x=16\sqrt{y}+3 ln(y)-6\] --> como si fuese a despejar y para hallar la inversa.
Derivo y despejo y'
\[1=8y^{\frac{-1}{2}}y{}'+\frac{3y{}'}{y}\]
\[1={y}'(\frac{8}{\sqrt{y}}+\frac{3}{y})\]
\[{y}'=\frac{1}{\frac{8}{\sqrt{y}}+\frac{3}{y}}\]
Y ahora en y pongo la imagen de la función inversa. \[{(f^{-1})}(10)=1\]
Queda:
\[{y}'=\frac{1}{\frac{8}{\sqrt{1}}+\frac{3}{1}}= \frac{1}{11}\]
Que es la rta del problema.
Ahora mi duda es por qué da?
está bien lo que hice? dio de casualidad? hay alguna explicación teórica de esto?
Aca tengo una duda existencial (?
Tengo un ejercicio que dice "Sea \[f(x)=16\sqrt{x}+3 ln(x)-6\]. Calcule la derivada \[{(f^{-1})}'(10)\]."
Bueno, como yo soy rebuscado, no usé la formulita de derivada de una inversa, y propuse lo siguiente:
\[f(a)= b\]
\[{(f^{-1})}(b)=a\]
Entonces:
\[16\sqrt{x}+3 ln(x)-6 =10\]
Para x=1, f vale 10
\[f(1)= 10\]
\[{(f^{-1})}(10)=1\]
Bien, seguimos:
\[y=16\sqrt{x}+3 ln(x)-6\]
\[x=16\sqrt{y}+3 ln(y)-6\] --> como si fuese a despejar y para hallar la inversa.
Derivo y despejo y'
\[1=8y^{\frac{-1}{2}}y{}'+\frac{3y{}'}{y}\]
\[1={y}'(\frac{8}{\sqrt{y}}+\frac{3}{y})\]
\[{y}'=\frac{1}{\frac{8}{\sqrt{y}}+\frac{3}{y}}\]
Y ahora en y pongo la imagen de la función inversa. \[{(f^{-1})}(10)=1\]
Queda:
\[{y}'=\frac{1}{\frac{8}{\sqrt{1}}+\frac{3}{1}}= \frac{1}{11}\]
Que es la rta del problema.
Ahora mi duda es por qué da?
está bien lo que hice? dio de casualidad? hay alguna explicación teórica de esto?
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..... voy a tener que preguntar a alguien que sepa mas al respecto...