03-11-2013, 02:25
Maik ahi te dejo el ejercicio de cambio de variable
calcular el area limitada por las siguientes curvas
\[y=1-x^2\quad y=9-x^2\quad y=15x^2\quad y=\frac{16}{9}x^2\quad x>0\quad y>0\]
el recinto es
![[Imagen: 996966_10202343634772248_376545297_n.jpg]](https://fbcdn-sphotos-d-a.akamaihd.net/hphotos-ak-prn1/996966_10202343634772248_376545297_n.jpg)
si lo hacemos de manera tradicional hay que calcular 3 integrales por ende
\[A=\int_{1/4}^{3/5}\int_{1-x^2}^{15x^2}dydx+\int_{3/5}^{3/4}\int_{\frac{16}{9}x^2}^{15x^2}dydx+\int_{3/4}^{9/5}\int_{\frac{16}{9}x^2}^{9-x^2}dydx=\frac{91}{15}\]
si lo hacemos por cambio de variable , tomo la transformacion
\[g:R^2\to R^2/g(u,v)=(u,v^2-u^2)\quad |D_g|=2v\]
el area sera
\[A=\iint_R 2v dudv\]
reemplazando obtengo los limites en funcion de g
\[\frac{5}{3}<\frac{v}{u}<4\quad 1<v<3\]
tomo nuevamente otra transformación
\[h:R^2\to R^2/h(x,y)=\left ( \frac{y}{x},y \right )\quad |D_h|=\frac{y}{x^2}\]
los limites con esa transformacion son
\[\frac{5}{3}<x<4\quad 1<y<3\]
finalmente
\[A=\int_{\frac{5}{3}}^{4}\int_{1}^{3} 2\frac{y^2}{x^2}dydx=\frac{91}{15}\]
calcular el area limitada por las siguientes curvas
\[y=1-x^2\quad y=9-x^2\quad y=15x^2\quad y=\frac{16}{9}x^2\quad x>0\quad y>0\]
el recinto es
si lo hacemos de manera tradicional hay que calcular 3 integrales por ende
\[A=\int_{1/4}^{3/5}\int_{1-x^2}^{15x^2}dydx+\int_{3/5}^{3/4}\int_{\frac{16}{9}x^2}^{15x^2}dydx+\int_{3/4}^{9/5}\int_{\frac{16}{9}x^2}^{9-x^2}dydx=\frac{91}{15}\]
si lo hacemos por cambio de variable , tomo la transformacion
\[g:R^2\to R^2/g(u,v)=(u,v^2-u^2)\quad |D_g|=2v\]
el area sera
\[A=\iint_R 2v dudv\]
reemplazando obtengo los limites en funcion de g
\[\frac{5}{3}<\frac{v}{u}<4\quad 1<v<3\]
tomo nuevamente otra transformación
\[h:R^2\to R^2/h(x,y)=\left ( \frac{y}{x},y \right )\quad |D_h|=\frac{y}{x^2}\]
los limites con esa transformacion son
\[\frac{5}{3}<x<4\quad 1<y<3\]
finalmente
\[A=\int_{\frac{5}{3}}^{4}\int_{1}^{3} 2\frac{y^2}{x^2}dydx=\frac{91}{15}\]