Buenas, estoy empezando a preparar el recuperatorio del primer parcial de Analisis Matematico II (Como ven me fue mal) y queria ver si alguno que mas o menos sepa de la materia me puede dar una mano con la resolucion de mi parcial.
Desde ya muchas gracias si pueden aportar algo!
El otro teorico lo pienso y vuelvo por aca si es que nadie mas te ayuda
T1) blaa bla bla bla bla bal.... luego tenes una funcion f que es un campo escalar, y una funcion h que es un campo vectorial definidas como
\[f:R^3 \to R/w=f(x,y,z)\quad h:R\to R^3/ h(t)=(x(t),y(t),z(t))\]
nos piden la composicion
\[g:R^3\to R/g=f(h(t))\]
lugo por regla de la cadena y sabes que las componentes del gradiente son las derivadas con respecto a cada variable
\[g'=\nabla f(h(t))\cdot h'(t)=\left ( \frac{df(x(t))}{dx},\ \frac{df(y(t))}{dy}, \frac{df(z(t))}{dz} \right )\cdot \left ( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt} \right )\]
finalmente
\[\boxed{g'(t)=\frac{df(x(t))}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{df(y(t))}{dy}\cdot \frac{dy}{dt}+\frac{df(z(t))}{dz}\cdot \frac{dz}{dt} }\]
1) f es C1 por tanto diferenciable, puedo aplicar entonces
\[f'(3,4,5)=\nabla F(3,4,5)\cdot r\]
donde r sera el director de la recta tangente a la curva , la cual es de la forma
\[C:\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=25\\\\z^2=x^2+y^2 \end{matrix}\right.\]
parametrizando y escribiendola como una funcion vectorial tenes
\[g:R\to R^3/g(t)=(5\cos t, 5\sin t,5)\]
el director de la recta a esa curva en el espacio sera la derivada d g
\[g'(t)=(-5\sin t, 5\cos t,0)\]
luego sabes que
\[g(t)=(3,4,5)\to \cos t=\frac{3}{5}\quad \sin t=\frac{4}{5}\quad 5=5\]
remplazando , el director de la recta es \[g'(t)=r=(-4,3,0)\]
el gradiente de F en el (3,4,5) es \[\nabla F=(6,8,10)\]
finalmente
\[\boxed {f'(3,4,5)=\nabla F (3,4,5)\cdot r=0}\]
2) es una composicion de la forma
\[h=f\circ g=f(g(u,v))\]
tenes que hallar la aproximacion en el punto (1,2), por definicion
\[z=h(1,2)=f(g(1,2))+\nabla h(1,2)(u-1,v-2)\]
por regla de la cadena
\[\nabla h(1,2)=\nabla f(g(1,2))\cdot \nabla g(1,2)=\nabla f(3,3)\cdot \nabla g(1,2)\]
hechas las cuentas obtenes que la aproximacion esta dada por la funcion
\[\boxed{z\approx f(g(u,v))=h(u,v)=-2+\frac{7}{2}(u-1)+3(v-2)}\]
3) la funcion f se aproxima por su polinimo de taylor , entonces
\[f\approx P\to f(2,-2,f(2,-2))\approx P(2,-2,P(2,-2))=(2,-2,6)\]
luego el plano tangente estara definido como
\[f\approx z\approx P=P(2,-2)+P'_x(2,-2)(x-2)+P'_y(2,-2)(y+2)\]
finalmente
\[\boxed{f\approx z\approx P=26+11(x-2)-15(y+2)}\]
4) si las superficies forman un angulo entre ellas, entonces sus vectores normales tambien lo haran , si encontras la ecuacion implicita de la superficie F que te dan de forma vectorial, obtenes
\[\\F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2\\\\G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1\]
los gradientes evaluados en el punto dado son respectivamente
\[\nabla F=(1,1,-\sqrt{2})\quad \nabla G=(1,1,\sqrt{2})\]
son perpendiculares, entonces el angulo de las superficies en ese punto es 90
Muchisimas gracias Saga! Me diste una mano enorme!
(15-02-2014 15:36)chiappy escribió: [ -> ]no se ven las imagenes 
Si aparece, esta donde dice Spoiler tenes que apretar en Mostrar
Saga una consulta, como llegás al
x² + y² - z² para F(u;v)?
No tendrías que calcular
Du y Dv, sabiendo que ambos vectores van a ser tangentes a la superficie, luego hacer el producto vectorial entre esos vectores, despejar u y v y así tendrías el normal?
U = √2/2 y Sen(v) = √2/2 entonces
V = π/4, esos datos los metés en el vector del producto vectorial que queda
(-u.cos(v); -u.sen(v); u(cos²v + sen²v)) = (-u.cos(v); -u.sen(v); u), pero no me da (1,1,-1) que hice mal?
Saga Perdón, el 4 de este mismo parcial
Creo que entedí, primero buscar la intersección de las superficies reemplazando los valores de la S parametrica (F) en la vectorial (G), derivás, y ahí reemplazás los valores
Estem.... el vector que obtenes con tus cuentas es
\[\left ( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\]
haciendo el producto escalar con el otro vector
\[(1,1,\sqrt{2})\cdot\left ( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=-1+1=0\]
y por definicion si el producto escalar entre dos vectores es nulo entonces dichos vectores forman un angulo de 90 grados entre ellos
si multiplicas por -2 a tu vector , obtenes el mismo que puse de respuesta
(13-10-2014 14:01)tatantatan escribió: [ -> ]Creo que entedí, primero buscar la intersección de las superficies reemplazando los valores de la S parametrica (F) en la vectorial (G), derivás, y ahí reemplazás los valores
para nada , simplemente busque la forma cartesiana de F calcule su gradiente y la evalue en el punto que me daban , lo que vos hiciste antes tambien esta correcto
Disculpen que reviva el thread, tengo una consulta con el ejercicio del polinomio de Taylor, cuando calculo P (2,-2) que es igual a f (2,-2) no obtengo 6 sino 26, y cuando hago la derivada parcial de f o p respecto de y evaluada en (2,-2), me da -15 en lugar de 15.
Puede ser que me haya equivocado en las cuentas troyano en un rato las reviso ... si las hiciste bien entonces tus resultados son correctos
Buenísimo, te agradecería un montón si podés revisarlo un minuto cuando puedas.
(04-02-2015 17:21)Troyano escribió: [ -> ]Buenísimo, te agradecería un montón si podés revisarlo un minuto cuando puedas.
correcto, yo me equivoque en las cuentas ... ahora edito la respuesta , gracias por avisar
Una pregunta:
En el ejercicio 1, con la direccion tangente a la circunferencia, no habría que normalizarla a 1 para poder obtener la derivada direccional?