27-11-2013, 19:28
Te dejo aca el ejercicio maik
Sea \[z_0>0\] hallar el área de la porcion de superficie \[S1 \subset{R^3}\] delimitada por las superfices S2 y S3, siendo respectivamente
\[S1: X\in R^3/ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}\]
\[S2: X\in R^3 / z=0\]
\[S3: X\in R^3/z=\dfrac{z_0}{2}\]
por definicion
\[A=\displaystyle\iint ||g'_u\times g'_v||dudv\]
una parametrización de S1 de forma vectorial seria la siguiente
\[g:R^2\longrightarrow{R^3}/g(z,t)=\left(a\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\cos t,b\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\sin t,\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\right)\]
los limites van en funcion de esa parametrizacion, por ende
\[0\leq \left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\leq \dfrac{z_0}{2}\]
tomo el cambio
\[\\r=\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\\ t=\theta\]
de donde
\[\left|\dfrac{\partial (r,\theta) }{\partial(z,t)}\right|^{-1}=c\]
ademas que
\[g:R^2\rightarrow{R^3}/g(r,\theta)=(ar\cos\theta,br\sin\theta,r)\quad 0\leq r\leq \dfrac{z_0}{2}\]
hechas las cuentas
\[g'_r\times g'_{\theta}=(br\cos\theta,-ar\sin\theta,abr)\]
\[||g'_r\times g'_{\theta}||=\sqrt{b^2 r^2\cos^2\theta+a^2r^2\sin^2\theta+a^2r^2b^2}\]
finalmente
\[A=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\frac{z_0}{2}}c\cdot r\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta+a^2b^2} drd\theta\]
integral que no puede ser resuelta con funciones elementales... podes observar que si a=b entonces es posible resolver la integral ...
Mas no se puede hacer , a no ser que sepas como resolver integrales elipticas... el ejercicio queda ahi
Sea \[z_0>0\] hallar el área de la porcion de superficie \[S1 \subset{R^3}\] delimitada por las superfices S2 y S3, siendo respectivamente
\[S1: X\in R^3/ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}\]
\[S2: X\in R^3 / z=0\]
\[S3: X\in R^3/z=\dfrac{z_0}{2}\]
por definicion
\[A=\displaystyle\iint ||g'_u\times g'_v||dudv\]
una parametrización de S1 de forma vectorial seria la siguiente
\[g:R^2\longrightarrow{R^3}/g(z,t)=\left(a\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\cos t,b\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\sin t,\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\right)\]
los limites van en funcion de esa parametrizacion, por ende
\[0\leq \left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\leq \dfrac{z_0}{2}\]
tomo el cambio
\[\\r=\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\\ t=\theta\]
de donde
\[\left|\dfrac{\partial (r,\theta) }{\partial(z,t)}\right|^{-1}=c\]
ademas que
\[g:R^2\rightarrow{R^3}/g(r,\theta)=(ar\cos\theta,br\sin\theta,r)\quad 0\leq r\leq \dfrac{z_0}{2}\]
hechas las cuentas
\[g'_r\times g'_{\theta}=(br\cos\theta,-ar\sin\theta,abr)\]
\[||g'_r\times g'_{\theta}||=\sqrt{b^2 r^2\cos^2\theta+a^2r^2\sin^2\theta+a^2r^2b^2}\]
finalmente
\[A=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\frac{z_0}{2}}c\cdot r\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta+a^2b^2} drd\theta\]
integral que no puede ser resuelta con funciones elementales... podes observar que si a=b entonces es posible resolver la integral ...
Mas no se puede hacer , a no ser que sepas como resolver integrales elipticas... el ejercicio queda ahi
