UTNianos

Estimados:

Buenas noches. A ver si me pueden ayudar.

Estuve intentando resolver el ejercicio 6 de la parte 6 (Integral definida y aplicaciones) de la Guía de Trabajos Prácticos de Análisis 1 ya que mi resolución no concordaba con las respuestas. Buscando en el foto encontré la respuesta acá: http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-am1...-definida.

El ejercicio de ese tema es similar, entendí perfectamente el procedimiento y pude resolver el 6. Quería consultar, si no es largo de explicar, por qué se resuelve así. Lo que yo estaba haciendo que me daba mal era omitir una evaluación de la función F del tramo anterior. Copio parte del tema de referencia:

\[F_2(x)=F_1(4)+\int_{0}^{x}(5-t)dt=-\frac{x^2}{2}+5x+4\]

Yo estaba omitiendo en este caso lo marcado en rojo:

\[F_2(x)={\color{Red} F_1(4)}+\int_{0}^{x}(5-t)dt=-\frac{x^2}{2}+5x+4\]

Tengo tres libros de Análisis que tienen teoría sobre la Función Integral (en algunos libros la llaman Función Acumulación) pero no me ha ayudado a encontrar la respuesta de por qué se resuelve así.

Espero haber sido claro y que puedan ayudarme.

¡Muchas gracias!

Hola buenas noches!
Esta parte: \[\frac{-x^{2}}{2} + 5x\]....Sale de aplicar el Teorema Fundamental del Calculo, como tenes una función en el extremo superior de Integración seria una composición. Ahi separas la Integral respecto a la suma, Reemplazas esa función (x) por la variable que esta en la integral (t), haces la integral de eso y queda. Ahora el +4 que sale en el resultado debe ser de la F1 evaluada en ese punto. No se si eso te lo dan como dato.

Saludos!

Hola fnliendomolina,

Gracias por tu respuesta.

Eso que me explicaste lo pude hacer sin problemas. Me parece que no llegaste a ver el link http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-am1...l-definida donde está todo el ejercicio. Mi duda es por qué en cada tramo tengo que sumarle la función F del tramo anterior evaluada en la cota superior de x del tramo anterior. Copio fragmentos del ejercicio desde el otro topic así no queda colgado:

La función a integrar es ésta:

\[f(x)=\begin{Bmatrix}{ 1}&\mbox{ si }& 0\leq x\leq 4\\ 5-x & \mbox{si}& 4\leq x\leq 6\\-1 & \mbox{si}& 6\leq x\leq 7\end{matrix}\]

No se ve la primer foto en el topic pero la integral a calcular es ésta:

\[F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt\]

Se integra el primer tramo:

\[F_1(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}1 dt=x\]

Luego se integra el segundo, pero sumándole el primero evaluado en 4:

\[F_2(x)=F_1(4)+\int_{0}^{x}(5-t)dt=-\frac{x^2}{2}+5x+4\]

Luego se integra el tercer tramo, sumándole el primero evaluado en 4 y el segundo evaluado en 6:

\[F_3(x)=F_1(4)+F_2(6)+\int_{0}^{x}-1dt=16-x\]

Yo estaba haciendo todas las integrales en cada tramo sin sumar las de los tramos anteriores evaluadas en la cota superior del tramo en cuestión. Justamente lo que no entiendo es por qué es así.

Espero haber sido más claro.

¡Gracias!

Bueno, ya encontré la solución y creo haberlo entendido. Hoy más tarde posteo el ejercicio y la solución.

¡Gracias!

Bueno, tarde pero seguro. El tema lo resolví viendo la interpretación gráfica, incluso cuando sigo sin entender la solución dada en el topic al que hice referencia. Posteo la respuesta por si a alguien le surge la misma duda.

El ejercicio es el nº 6 de la Práctica nº6 (Integral definida y aplicaciones), página 8 de la guía BM1AP9 (TPs 5, 6, 7 y 8).

El ejercicio dice lo siguiente: "Calcular y graficar la función \[F(x) = \int_{-1}^{x}f_{i}(t)dt\] para las funciones \[f_{i}\] dadas, en el intervalo que corresponda".

a) \[f_{i}(x) = \begin{cases}-1 & \text{ si } -1\leq x < 0 \\ 2 & \text{ si } 0 \leq x < 4 \\ \frac{1}{2} & \text{ si } 4 \leq x \leq 6 \end{cases}\]

Primero grafico \[f_{i}(x)\]:

[attachment=7891]

Ahora integro la primer función. Tengo en cuenta que la variable \[x\] es de la función \[F\], así que utilizo la variable \[t\] para la función \[f\]:

\[F_{1}(x) = \int_{-1}^{x} f_{1}(x) = \int_{-1}^{x} -1dt = \left [-t \right ]_{-1}^{x} = -x-(-(-1)) = -x-1\] con \[-1\leq x< 0\]

Como la función \[F_{1}(x) = \int_{-1}^{x} f_{1}(x)\] es una integral definida con la parte superior variable, gráficamente indica el área bajo el gráfico de la función \[f_{1}(x)\] en el valor en el que se evalúe \[x\] (en este caso, el área entre el gráfico y el eje \[x\] da negativa).

Ahora integramos la función \[f_{2}(x)\], teniendo en cuenta que el tramo comienza en 0:

\[\int_{0}^{x} f_{2}(x) = \int_{0}^{x} 2dt = \left [2t \right ]_{0}^{x} = 2.x-2.0 = 2x\]

Pero nosotros necesitamos calcular \[\int_{-1}^{x} f_{2}(x)\], entonces:

\[F_{2}(x) = \int_{-1}^{x} f_{2}(x) = \int_{-1}^{0}f_{1}(x) + \int_{0}^{x} 2dt = F_{1}(0) + 2x = (-0-1) + 2x = 2x-1\] con \[0 \leq x < 4\]

Ahora integramos la función \[f_{3}(x)\], teniendo en cuenta que el tramo comienza en 4:

\[\int_{4}^{x} f_{3}(x) = \int_{4}^{x} \frac{1}{2}dt = \left [\frac{1}{2}t \right ]_{4}^{x} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}.4 = \frac{1}{2}x-2\]

Nuevamente tenemos la precaución que necesitamos calcular \[\int_{-1}^{x} f_{3}(x)\], entonces:

\[F_{3}(x) = \int_{-1}^{x} f_{3}(x) = \int_{0}^{4}f_{2}(x) + \int_{4}^{x} \frac{1}{2}dt = F_{2}(4) + \frac{1}{2}x-2 = (2.4-1)+\frac{1}{2}x-2=7+\frac{1}{2}x-2=\frac{1}{2}x+5 \] con \[4 \leq x \leq 6\].

Entonces nos queda:

\[F(x)=\int_{-1}^{x}f_{i}(t)dt\begin{cases}-x-1 & \text{ si } -1\leq x< 0\\2x-1 & \text{ si } 0\leq x< 4 \\ \frac{1}{2}x+5 & \text{ si } 4\leq x\leq 6 \end{cases}\]

Por último la gráfica de \[F(x)\] sería:

[attachment=7892]

Bueno, espero les haya servido. Si encuentran algún error, por favor comenten.

¡Gracias!