18-12-2013, 15:16
T1) Bla bla bla..... luego como nos dicen que \[y=2x^2\] es SP de la ED dada entonces solo derivamos dos veces y reemplazamos en dicha ED
\[y''+ky'=4+8x\to 4+4kx=4+8x\to \boxed{k=2}\]
luego por definicion la solucion general sera \[y=y_h+y_p\]
asociando el polinomio caracteristico en el primer miembro de la ED
\[r^2+2r=0\to r=0\quad r=-2\]
dos soluciones distintas , entonces \[y_h=A+Be^{-2x}\] , finalmente la solucion general es
\[\boxed{\boxed{y=y_h+y_p=A+Be^{-2x}+2x^2}}\]
T2)
[attachment=7928]
E1) la curva escrita de forma vectorial se puede expresar como
\[g:R\to R^3/g(t)=(4\cos t,5\sin t,3\cos t)\quad t\in\left [ 0,\frac{\pi}{2} \right ]\]
por definicion
\[L=\int_a^b||g'(t)||dt\]
luego
\[L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{25\cos^2t+25\sin^2t}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}5dt\]
finalmente
\[\boxed{\boxed{L=\frac{5}{2}\pi}}\]
E2) reemplazando el punto dado en la ecuacion implicita, a "ojimetro" obtenemos el valor de \[z_0=2\] entonces \[P=(1,4,2)\]
se puede utilizar el teorema de couchy dini, pero YO, por comodidad , expreso
\[f(x,y,z)=xz+e^{z+xy-6}-3\]
calculo el gradiente de la misma, y lo evaluo en el punto dado... es decir
\[\nabla f(1,4,2)=(6,1,2)\]
ese el el normal a mi plano tangente, con algo de algebra el plano pedido es \[\boxed{\pi : 6x+y+2z-14=0}\]
Para el calculo del area , por definicion
\[A=\iint_R ||g'_u\times g'_v||dudv\]
expreso la funcion vectorial
\[g:R^2\to R^3/g(x,z)=(x,14-6x-2z,z)\]
la norma del producto vectorial de los elementales es \[\sqrt{41}\]
entonces
\[A=\sqrt{41}\iint_R dzdx\]
para los limites de integracion , simplemente resuelvo
\[x>0\quad 14-6x-2z>0\quad z>0\]
de la segunda despejo z y obtengo \[z<7-3x\] luego por transitividad \[x<\frac{7}{3}\] finalmente
\[\boxed{\boxed{A=\int_{0}^{\frac{7}{3}}\int_{0}^{7-3x}dzdx=\frac{49}{6}\sqrt{41}}}\]
E3) como la superficie es abierta , no podemos aplicar divergencia... bah...poder se puede, pero es complicarse la vida al pp , entonces por definicion
\[\varphi=\iint_R fn dA\]
donde n sera el producto vectorial de los vectores elementales de la funcion g, expreso la funcion vectorial g como
\[g:R^2\to R^3/g(x,z)=(x,x^2,z)\]
la normal sera \[n=g'_x\times g'_z=(2x,-1,0)\]
reemplazando
\[\varphi=\iint(3x,2x^2x^2+z)(2x,-1,0)dA=\iint_R 4x^2dA\]
los limites van en funcion de g, por ende
\[0\leq z\leq 9-y\to 0\leq z\leq 9-x^2\]
por transitividad \[ 0\leq 9-x^2\to |x|\leq 3\] finalmente
\[\boxed{\boxed{\varphi=\int_{-3}^{3}\int_{0}^{9-x^2}4.x^2dzdx=\frac{1296}{5}}}\]
E4) por definicion
\[m=\iiint_V \delta(x,y,z) dV\] pero \[\delta(x,y,z)=k|z|\]
es sencillo observar que nos piden el volumen cuando z>0 , nos conviene calcular dicho volumen por una integral doble
\[m=\iint_{P_{xy}}\left ( \int_{\sqrt{2x^2+y^2}}^{\sqrt{12-x^2-2y^2}}kzdz \right ) dxdy\]
hechas las cuentas
\[m=\frac{3}{2}k\iint_{P_{xy}}4-(x^2+y^2) dxdy\]
la proyeccion sobre el plano xy corresponde a la region
\[R=\left \{(x,y)\in R^2/ x^2+y^2\leq 4 \right \}\]
no hay restricciones angulares, finalmente tomando polares
\[\boxed{\boxed{m=\frac{3}{2}k \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(4-r^2)r drd\theta=12k\pi}}\]
