En realidad a mi me da un poco diferente de la resolucion que adjuntaste, pero explico los pasos para que venga algun crack a decirte donde hice mal.
Partamos la derivada en 2:
1) \[{(4.r^{2}-b^{2})_}^{1/2}\]
derivamos esto aplicando la regla de la cadena (primero la raiz y luego lo de adentro)
\frac{1}{2.(4.r^{2}-b^{2})^{1/2}} . [2.4\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} x}- 2b]
r es una constante y por lo tanto, su derivada vale 0. entonces:
\[\frac{-2b}{2.(4.r^{2}-b^{2})^{1/2}}\]
los 2 en denominador y numerador se van y queda
\frac{-b}{.(4.r^{2}-b^{2})^{1/2}}
2) \[\frac{-b^{2}}{.(4.r^{2}-b^{2})^{1/2}}\]
se aplica la regla del cociente, (aplicando la regla de la cadena como antes, al derivar la raiz)
\[\frac{2b.(4r^{2}-b^{2})^{1/2}-b^{2}.\frac{-b}{.(4.r^{2}-b^{2})^{1/2}}}{4.r^{2}-b^{2}}\]
o sea...
\[\frac{2b.(4r^{2}-b^{2})^{1/2}+\frac{b^{3}}{.(4.r^{2}-b^{2})^{1/2}}}{4.r^{2}-b^{2}}\]
se hace denominador comun de la raiz en el numerador
\[\frac{\frac{2b(4r^{2}-b^{2})+b^{3}}{(4r^{2}-b^{2})^{1/2}}}{(4r^{2}-b^{2})}\]
magicamente (?) juntamos los dos denominadores y nos queda
\[\frac{2b(4r^{2}-b^{2})+b^{3}}{(4r^{2}-b^{2})^{3/2}}\]
juntamos todo y queda casi igual
\[\frac{-b}{.(4.r^{2}-b^{2})^{1/2}}-\frac{2b(4r^{2}-b^{2})+{b^{3}}}{(4r^{2}-b^{2})^{3/2}}\]
(la diferencia con respecto al resultado es el \[b\] y el \[b^{3}\] en los denominadores, que en la respuesta aparecen elevados a una potencia mas)
saludos