18-02-2014, 14:31
Buenas gente! Necesito una mano con este ejercicio, sinceramente no se si encaro bien el tema de la circulacion. Dejo el ejercicio y el planteo
Yo hice lo siguiente...
Determino G homogenea
\[r^{2}-1=0\rightarrow r_{1}=1;r_{2}=-1 \]
\[g_{homogenea}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}\]
Determino G particular
\[g_{particular}=ax+b\rightarrow {g}'=a;{g}''=0 \]
\[{g}''-g=x\rightarrow 0-(ax+b)=x\]
\[a=-1\wedge b=0\]
\[g_{particular}=-x\]
Entonces G
\[g(x)=g_{Homogenea}+g_{Particular}\]
\[g(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-x\rightarrow {g}'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}-1\]
Con los datos saco los valores de C1 y C2
\[{g}'(0)=C_{1}-C_{2}-1=-1\rightarrow C_{1}=C_{2}\]
Reemplazando en la ecuacion de g
\[{g}(0)=C_{1}+C_{2}=0\rightarrow 2C_{1}=0\Rightarrow C_{1}=0\wedge C_{2}=0\]
Finalmente obtengo g(x)
\[g(x)=-x\]
Ahora yo tengo que el rotor que me dan de dato es
\[\bigtriangledown .f=(x^{2};y^{2}(x+y);-yg(x))=(x^{2};y^{2}(x+y);yx))\]
Y tengo que la interseccion viene dada
\[C:\bigl(\begin{matrix}z=1-(x^{2}+y^{2})\\ x^{2}+y^{2}=1\end{matrix}\bigr)\]
\[C:\bigl(\begin{matrix}z=0\end{matrix}\bigr)\]
Ahora yo se por definicion que la circulacion es
\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int \int_{\Sigma } (Rot f.\breve{n})d\Sigma \]
\[\breve{n}=(0,0,1) \]
Entonces el producto del vector por la normal
\[(Rot f.\breve{n})=yx\]
Entonces la circulación es
\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int \int_{\Sigma } (Rot f.\breve{n})d\Sigma =\int \int_{Rxy} yxdxdy \]
En polares
\[\begin{pmatrix}0\leq \rho \leq 1 \\ 0\leq \theta \leq 2\pi \end{pmatrix}\]
La circulacion es entonces...
\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int_0^{2\pi} \cos{ \theta}\sen{ \theta}d \theta\int_0^1 \rho^3d \rho \]
\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \cos{ \theta}\sen{ \theta}d \theta=\frac{1}{4}[\frac{\sin^2{ \theta}}{2}]_0^{2\pi} \]
\[\frac{1}{4}[\frac{\sin^2{ \theta}}{2}]_0^{2\pi}=0 \]
Ahi esta resuelto mi problema fue que no plantie g''-g=x
Saludos y gracias genios!
Yo hice lo siguiente...
Determino G homogenea
\[r^{2}-1=0\rightarrow r_{1}=1;r_{2}=-1 \]
\[g_{homogenea}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}\]
Determino G particular
\[g_{particular}=ax+b\rightarrow {g}'=a;{g}''=0 \]
\[{g}''-g=x\rightarrow 0-(ax+b)=x\]
\[a=-1\wedge b=0\]
\[g_{particular}=-x\]
Entonces G
\[g(x)=g_{Homogenea}+g_{Particular}\]
\[g(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-x\rightarrow {g}'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}-1\]
Con los datos saco los valores de C1 y C2
\[{g}'(0)=C_{1}-C_{2}-1=-1\rightarrow C_{1}=C_{2}\]
Reemplazando en la ecuacion de g
\[{g}(0)=C_{1}+C_{2}=0\rightarrow 2C_{1}=0\Rightarrow C_{1}=0\wedge C_{2}=0\]
Finalmente obtengo g(x)
\[g(x)=-x\]
Ahora yo tengo que el rotor que me dan de dato es
\[\bigtriangledown .f=(x^{2};y^{2}(x+y);-yg(x))=(x^{2};y^{2}(x+y);yx))\]
Y tengo que la interseccion viene dada
\[C:\bigl(\begin{matrix}z=1-(x^{2}+y^{2})\\ x^{2}+y^{2}=1\end{matrix}\bigr)\]
\[C:\bigl(\begin{matrix}z=0\end{matrix}\bigr)\]
Ahora yo se por definicion que la circulacion es
\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int \int_{\Sigma } (Rot f.\breve{n})d\Sigma \]
\[\breve{n}=(0,0,1) \]
Entonces el producto del vector por la normal
\[(Rot f.\breve{n})=yx\]
Entonces la circulación es
\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int \int_{\Sigma } (Rot f.\breve{n})d\Sigma =\int \int_{Rxy} yxdxdy \]
En polares
\[\begin{pmatrix}0\leq \rho \leq 1 \\ 0\leq \theta \leq 2\pi \end{pmatrix}\]
La circulacion es entonces...
\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int_0^{2\pi} \cos{ \theta}\sen{ \theta}d \theta\int_0^1 \rho^3d \rho \]
\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \cos{ \theta}\sen{ \theta}d \theta=\frac{1}{4}[\frac{\sin^2{ \theta}}{2}]_0^{2\pi} \]
\[\frac{1}{4}[\frac{\sin^2{ \theta}}{2}]_0^{2\pi}=0 \]
Ahi esta resuelto mi problema fue que no plantie g''-g=x
Saludos y gracias genios!