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Ejercicio final circulacion/ecuaciones diferenciales
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Mensaje: #1
Ejercicio final circulacion/ecuaciones diferenciales Finales Análisis Matemático II
Buenas gente! Necesito una mano con este ejercicio, sinceramente no se si encaro bien el tema de la circulacion. Dejo el ejercicio y el planteo

[Imagen: mwfd.jpg]

Yo hice lo siguiente...

Determino G homogenea

\[r^{2}-1=0\rightarrow r_{1}=1;r_{2}=-1 \]

\[g_{homogenea}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}\]

Determino G particular

\[g_{particular}=ax+b\rightarrow {g}'=a;{g}''=0 \]

\[{g}''-g=x\rightarrow 0-(ax+b)=x\]

\[a=-1\wedge b=0\]

\[g_{particular}=-x\]

Entonces G

\[g(x)=g_{Homogenea}+g_{Particular}\]

\[g(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-x\rightarrow {g}'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}-1\]

Con los datos saco los valores de C1 y C2

\[{g}'(0)=C_{1}-C_{2}-1=-1\rightarrow C_{1}=C_{2}\]

Reemplazando en la ecuacion de g

\[{g}(0)=C_{1}+C_{2}=0\rightarrow 2C_{1}=0\Rightarrow C_{1}=0\wedge C_{2}=0\]

Finalmente obtengo g(x)

\[g(x)=-x\]

Ahora yo tengo que el rotor que me dan de dato es

\[\bigtriangledown .f=(x^{2};y^{2}(x+y);-yg(x))=(x^{2};y^{2}(x+y);yx))\]

Y tengo que la interseccion viene dada

\[C:\bigl(\begin{matrix}z=1-(x^{2}+y^{2})\\ x^{2}+y^{2}=1\end{matrix}\bigr)\]

\[C:\bigl(\begin{matrix}z=0\end{matrix}\bigr)\]

Ahora yo se por definicion que la circulacion es

\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int \int_{\Sigma } (Rot f.\breve{n})d\Sigma \]

\[\breve{n}=(0,0,1) \]

Entonces el producto del vector por la normal

\[(Rot f.\breve{n})=yx\]

Entonces la circulación es

\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int \int_{\Sigma } (Rot f.\breve{n})d\Sigma =\int \int_{Rxy} yxdxdy \]

En polares
\[\begin{pmatrix}0\leq \rho \leq 1 \\ 0\leq \theta \leq 2\pi \end{pmatrix}\]

La circulacion es entonces...

\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int_0^{2\pi} \cos{ \theta}\sen{ \theta}d \theta\int_0^1 \rho^3d \rho \]

\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \cos{ \theta}\sen{ \theta}d \theta=\frac{1}{4}[\frac{\sin^2{ \theta}}{2}]_0^{2\pi} \]

\[\frac{1}{4}[\frac{\sin^2{ \theta}}{2}]_0^{2\pi}=0 \]


Ahi esta resuelto mi problema fue que no plantie g''-g=x

Saludos y gracias genios!
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 24-02-2014 10:16 por Polito!.)
18-02-2014 14:31
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Mensaje: #2
RE: Ejercicio final circulacion/ecuaciones diferenciales
conviene que lo dejes en cartesianas... como la region de integracion es simetrica podes limitarla al primer cuadrante y despues multiplicar por 4, de ese modo la integral con los exponeciales

resulta sencilla para su resolución, otra cosa , tenes mal el signo en x en tu funcion g , tiene que ser g(x)=.......-x no + ;)

18-02-2014 14:57
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Mensaje: #3
RE: Ejercicio final circulacion/ecuaciones diferenciales
Por que quedaria -x??
18-02-2014 16:49
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Mensaje: #4
RE: Ejercicio final circulacion/ecuaciones diferenciales
la g que propones no verifica la ecuacion diferencial ... como anda para el ojete el latex lo dejo todo en texto, espero se entienda, vos encontraste que

g=-e^x+e^(-x)+x

derivo una vez

g'=-e^x-e^(-x)+1

derivo otra vez

g''=-e^x+e^(-x)

ahora verifico la ED

g''-g=-e^x+e^(-x)-(-e^x+e^(-x)+x)=-e^x+e^(-x)+e^x-e^(-x)-x=-x que es distinto a x

se entiende ??? a no ser que me haya mandando algun moco con la distributiva de signos jeje

18-02-2014 17:19
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Mensaje: #5
RE: Ejercicio final circulacion/ecuaciones diferenciales
Sisi entiendo! ahora tengo la duda de como sacar la solucion particular entonces jajajaja
Gracias SAGA!!!
18-02-2014 17:44
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Mensaje: #6
RE: Ejercicio final circulacion/ecuaciones diferenciales
pasa que te olvidaste un signo ... la yp que propones esta bien, mira bien cual es la ecuacion diferencial =)

18-02-2014 20:08
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Mensaje: #7
RE: Ejercicio final circulacion/ecuaciones diferenciales
Hola che, yo lo hice y me dio asi:
(No sé usar el Latex asi que lo escribo en texto)

YG: C1.e ala x + C2.e ala -x -x

g(x)=-x porque con las condiciones que da el enunciado me quedaron C1=C2=0

despues el rot f, la componente en z te queda xy
y como el normal es (0,0,1) es la unica coordenada que importa, porque las otras dos son cero.

cuando hice el calculo de la integral doble, use polares porque me quedó:
(cuando pongo S entiendase que es una integral)
En polares:
x=rcos ang
Y=rsen ang
x ala 2 + y ala 2 = r ala 2

del grafico se ve que
r entre 0 y 1
ang entre 0 y 2pi

SSxydxdy = SSrcos ang rsen ang r dr dang
S(de 0 a 2pi) cos ang sen ang S r ala 3 dr
usando la tabla de integrales para resolver Scos ang sen ang
te termina quedando un cuarto por cero, ergo resultado final= CERO

espero haberlo hecho bien, y que se haya entendido. Si hay algo que este mal, avisen porfa, desde ya muchas gracias!!

Todos admiran a Federer, a Schrödinger, a Einstein, a Bohr, a Messi, a C.Ronaldo, a Riquelme, a Zanetti, a Nadal... Yo admiro a MI VIEJO, ese tipo si que la tenia clara.
19-02-2014 00:39
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Mensaje: #8
RE: Ejercicio final circulacion/ecuaciones diferenciales
Esta bien Fabipr, seguramente polito cometio algun error en alguna cuenta .

19-02-2014 02:43
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Mensaje: #9
RE: Ejercicio final circulacion/ecuaciones diferenciales

Off-topic:
Fucking latex!
19-02-2014 10:50
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