Buenas gente! Necesito una mano con este ejercicio, sinceramente no se si encaro bien el tema de la circulacion. Dejo el ejercicio y el planteo



Yo hice lo siguiente...

Determino G homogenea

\[r^{2}-1=0\rightarrow r_{1}=1;r_{2}=-1 \]

\[g_{homogenea}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}\]

Determino G particular

\[g_{particular}=ax+b\rightarrow {g}'=a;{g}''=0 \]

\[{g}''-g=x\rightarrow 0-(ax+b)=x\]

\[a=-1\wedge b=0\]

\[g_{particular}=-x\]

Entonces G

\[g(x)=g_{Homogenea}+g_{Particular}\]

\[g(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-x\rightarrow {g}'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}-1\]

Con los datos saco los valores de C1 y C2

\[{g}'(0)=C_{1}-C_{2}-1=-1\rightarrow C_{1}=C_{2}\]

Reemplazando en la ecuacion de g

\[{g}(0)=C_{1}+C_{2}=0\rightarrow 2C_{1}=0\Rightarrow C_{1}=0\wedge C_{2}=0\]

Finalmente obtengo g(x)

\[g(x)=-x\]

Ahora yo tengo que el rotor que me dan de dato es

\[\bigtriangledown .f=(x^{2};y^{2}(x+y);-yg(x))=(x^{2};y^{2}(x+y);yx))\]

Y tengo que la interseccion viene dada

\[C:\bigl(\begin{matrix}z=1-(x^{2}+y^{2})\\ x^{2}+y^{2}=1\end{matrix}\bigr)\]

\[C:\bigl(\begin{matrix}z=0\end{matrix}\bigr)\]

Ahora yo se por definicion que la circulacion es

\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int \int_{\Sigma } (Rot f.\breve{n})d\Sigma \]

\[\breve{n}=(0,0,1) \]

Entonces el producto del vector por la normal

\[(Rot f.\breve{n})=yx\]

Entonces la circulación es

\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int \int_{\Sigma } (Rot f.\breve{n})d\Sigma =\int \int_{Rxy} yxdxdy \]

En polares
\[\begin{pmatrix}0\leq \rho \leq 1 \\ 0\leq \theta \leq 2\pi \end{pmatrix}\]

La circulacion es entonces...

\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\int_0^{2\pi} \cos{ \theta}\sen{ \theta}d \theta\int_0^1 \rho^3d \rho \]

\[ \oint \bar{f}.d\bar{s}=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \cos{ \theta}\sen{ \theta}d \theta=\frac{1}{4}[\frac{\sin^2{ \theta}}{2}]_0^{2\pi} \]

\[\frac{1}{4}[\frac{\sin^2{ \theta}}{2}]_0^{2\pi}=0 \]


Ahi esta resuelto mi problema fue que no plantie g''-g=x

Saludos y gracias genios!

conviene que lo dejes en cartesianas... como la region de integracion es simetrica podes limitarla al primer cuadrante y despues multiplicar por 4, de ese modo la integral con los exponeciales

resulta sencilla para su resolución, otra cosa , tenes mal el signo en x en tu funcion g , tiene que ser g(x)=.......-x no +

Por que quedaria -x??

la g que propones no verifica la ecuacion diferencial ... como anda para el ojete el latex lo dejo todo en texto, espero se entienda, vos encontraste que

g=-e^x+e^(-x)+x

derivo una vez

g'=-e^x-e^(-x)+1

derivo otra vez

g''=-e^x+e^(-x)

ahora verifico la ED

g''-g=-e^x+e^(-x)-(-e^x+e^(-x)+x)=-e^x+e^(-x)+e^x-e^(-x)-x=-x que es distinto a x

se entiende ??? a no ser que me haya mandando algun moco con la distributiva de signos jeje

Sisi entiendo! ahora tengo la duda de como sacar la solucion particular entonces jajajaja
Gracias SAGA!!!

pasa que te olvidaste un signo ... la yp que propones esta bien, mira bien cual es la ecuacion diferencial

Hola che, yo lo hice y me dio asi:
(No sé usar el Latex asi que lo escribo en texto)

YG: C1.e ala x + C2.e ala -x -x

g(x)=-x porque con las condiciones que da el enunciado me quedaron C1=C2=0

despues el rot f, la componente en z te queda xy
y como el normal es (0,0,1) es la unica coordenada que importa, porque las otras dos son cero.

cuando hice el calculo de la integral doble, use polares porque me quedó:
(cuando pongo S entiendase que es una integral)
En polares:
x=rcos ang
Y=rsen ang
x ala 2 + y ala 2 = r ala 2

del grafico se ve que
r entre 0 y 1
ang entre 0 y 2pi

SSxydxdy = SSrcos ang rsen ang r dr dang
S(de 0 a 2pi) cos ang sen ang S r ala 3 dr
usando la tabla de integrales para resolver Scos ang sen ang
te termina quedando un cuarto por cero, ergo resultado final= CERO

espero haberlo hecho bien, y que se haya entendido. Si hay algo que este mal, avisen porfa, desde ya muchas gracias!!

Esta bien Fabipr, seguramente polito cometio algun error en alguna cuenta .

Off-topic:

Fucking latex!