05-05-2014, 00:14
Hola a todos! De a poco estoy terminando de entender estos conceptos nuevos. Pero hay un ejercicio que a mi manera de plantearlo no me da, probablemente haya algun error de concepto. El problema dice asi:
12) Sea Ro la recta normal a la superficie de ecuacion \[z=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\] en (1,2,Zo), analice si existe algun punto en el que Ro interseque al cilindro de ecuacion \[z=x^{2}\] .
Yo lo que hice fue sacar el gradiente de la superficie planteando lo siguiente:
\[F(x,y,z)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}-z\]
Despues derivé parcialmente respecto de las 3 variables para sacar el gradiente de F:
\[\nabla F(x,y,z)=(\frac{-x}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\, \, ,\, \, \frac{-y}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\, \, ,\, \, -1)\]
Entonces como el gradiente en un punto de la superficie es el vector normal al plano tangente en dicho punto, el gradiente en (1,2,Zo) es el vector director de la recta normal a dicho plano en dicho punto. Por lo que supuse que como \[\nabla F(x,y,z)=(\frac{-x}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\, \, ,\, \, \frac{-y}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\, \, ,\, \, -1)\], entonces \[\nabla F(1,2,Zo)=(1,2,-1)\], por lo que Zo tiene que ser -1 . Pero ese punto no pertenece a la superficie, en que le estoy pifeando?
Gracias!
12) Sea Ro la recta normal a la superficie de ecuacion \[z=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\] en (1,2,Zo), analice si existe algun punto en el que Ro interseque al cilindro de ecuacion \[z=x^{2}\] .
Yo lo que hice fue sacar el gradiente de la superficie planteando lo siguiente:
\[F(x,y,z)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}-z\]
Despues derivé parcialmente respecto de las 3 variables para sacar el gradiente de F:
\[\nabla F(x,y,z)=(\frac{-x}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\, \, ,\, \, \frac{-y}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\, \, ,\, \, -1)\]
Entonces como el gradiente en un punto de la superficie es el vector normal al plano tangente en dicho punto, el gradiente en (1,2,Zo) es el vector director de la recta normal a dicho plano en dicho punto. Por lo que supuse que como \[\nabla F(x,y,z)=(\frac{-x}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\, \, ,\, \, \frac{-y}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\, \, ,\, \, -1)\], entonces \[\nabla F(1,2,Zo)=(1,2,-1)\], por lo que Zo tiene que ser -1 . Pero ese punto no pertenece a la superficie, en que le estoy pifeando?
Gracias!