No esta tan dificil
1) la definicion nos dice que si una funcion es diferenciable la derivada direccional se puede escribir como \[f'(A,r)=\nabla f (A) r\] reescribiendo la funcion que tenes ahi tenes
\[f'((x,y),r)=(2x,8y)(u,v)\quad \forall u,v \in R\]
ya tenes el gradiente d f
\[\nabla f=(2x,8y)\]
el hessiano sera
\[H(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 &8 \end{pmatrix}\]
\[f''_{xx}>0 \wedge det(H)>0\to (0,0)\quad \mbox{minimo local }\]
2) si rescribis la integral que tenes como
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos\theta}r^2 rdrd\theta\]
por definicion
\[\\r^2=x^2+y^2\\x=r\cos \theta\\ y=r\sin\theta\]
ademas no interesa cuando
\[r<2\cos\theta\]
haciendo los reemplazos necesarios, despejando r tenes
\[\sqrt{x^2+y^2}<2\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
de donde la curva en cartesianas es \[x^2+y^2=2x\] o equivalentemente \[(x-1)^2+y^2=1\] con un dibujito sencillo sobre el plano xy deducis que la integral en cartesianas es
\[\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{1-(x-1)^2}}x^2+y^2dydx=\frac{3}{4}\pi\]
E1) la recta tangente esta dada por la interseccion de esas dos superficies , si expreso cada una como una funcion F y G, entonces el director de la recta esta definido como
\[d=\nabla F(1,2,2)\times \nabla G(1,2,2)=(1,6,-2)\]
la recta de forma vectorial es
\[r(\alpha)=(1+\alpha,2+6\alpha,2-2\alpha)\]
para saber de donde a donde va el parametro solo hay que hacer \[r(\alpha)=(1,2,2)\quad r(\alpha)=(2,y_0,z_0)\to \alpha\in [0,1]\]
luego la circulacion esta dada por
\[\omega=\int fds=\int_{0}^{1}f(r(\alpha))\cdot r'(\alpha)d\alpha\]
luego de hacer el producto escalar
\[\omega=\int_{0}^{1}118\alpha+30d\alpha=89\]
Podemos verificar el resultado hallando la funcion potencial a f los puntos son A=(1,2,2) B=(2,8,0) entonces por las condiciones de existencia para una funcion potencial
1) el dominio es simplemente conexo
2) la matriz jacobiada es simetrica
se cumple 1) veamos con 2)
\[Df=\begin{pmatrix}2 &0 &0 \\ 0 &3 &0 \\ 0& 0 &2 \end{pmatrix}\]
entonces existe funcion potencial , luego por definicion \[\nabla U=f\] entonces
\[\frac{dU}{dx}=2x\quad \frac{dU}{dy}=3y\quad \frac{dU}{dz}=2z\]
integrando se obtiene que
\[U(x,y,z)=x^2+\frac{3}{2}y^2+z^2+K\]
entonces
\[\omega=U(B)-U(A)=97-8=89\]
E2) por definicion de area \[A=\iint_R ||g'_u\times g'_v||dudv\] una parametrizacion de forma vectorial adecuada para la esfera es
\[g:R^2\to R^3/g(w,t)=(\sqrt 2\cos w\cos t,\sqrt 2 \cos w\sin t,\sqrt 2\sin w)\]
la norma del producto vectorial de los elementales es (tomalo como acto de fe
) es \[||g'_w\times g'_t||=2\cos w\]
con un dibujito de la situacion sacas los limites de integracion
\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos w dwdt=(4-2\sqrt 2)\pi\]
E3) como la recta normal pasa por el punto la recta tangente tambien lo hara entonces con la normal sacas el valor de y0 y definis las condiciones iniciales (y' es la pendiente de mi recta tangente)
\[y(0)=1\quad y'(0)=-2\]
sabes que la solucion general de esa ecuacion diferencial es
\[y=y_h+y_p\]
para el yh planteo el polinomio caracteristico \[r^2-r=0\to r_1=0\quad r_2=1\] dos raices distintas entonces
\[y_h=Ae^{-r_1x}+Be^{-r_2x}\]
reemplazando obtenes \[y_h=A+Be^{-x}\] para la yp propongo \[y_p=mx^2+bx\] derivandola dos veces y reemplazando en la ED dada \[2m-2mx-b=2x\] igualando
terminos semejantes
\[-2m=2\quad 2m-b=0\to m=-1\quad b=-2\] reemplazando finalmente tenes que la solucion general de la ED es \[y=A+Be^{-x}-x^2-2x\] utilizando las condiciones iniciales la curva
pedida es \[y=-x^2-2x+1\]
E4) por definicion
\[\varphi =\iint_R fn dS\]
la normal sera el producto vectorial de los elementales de la funcion g que la defino como \[g(x,y)=(x,y,4-x^2)\] entonces \[n=g'x\times g'_y=(2x,0,1)\] componiendo f con g
y haciendo el respectivo producto escalar se obtiene
\[\varphi=\iint 4x^2y+16y-4x^2y dydx\]
los limites van en funcion de g entonces \[0<y<x\quad 4-x^2>0\to 0<x<2\] luego
\[\varphi=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} 16y dydx=\frac{64}{3}\]
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un saludo y suerte!