31-08-2014, 18:42
31-08-2014, 18:43
si pones el enunciado es mas simple ayudarte
31-08-2014, 19:03
"Sea J la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parabola \[y=Kx^{2}\] que pasa por dicho punto. Halle la curva \[C\epsilon J\] que pasa por (0,1)"
Lo que hice fue sacar \[{y}'=\frac{2y}{x}\] (1)
Entonces como la recta normal es tangente a la parabola: \[y-yo=-\frac{1}{{y}'}(x-xo)\] (2)
Reemplazando (1) en (2) y el punto (0,1) me queda lo que dije antes
Lo que hice fue sacar \[{y}'=\frac{2y}{x}\] (1)
Entonces como la recta normal es tangente a la parabola: \[y-yo=-\frac{1}{{y}'}(x-xo)\] (2)
Reemplazando (1) en (2) y el punto (0,1) me queda lo que dije antes
31-08-2014, 20:10
Buenas!.
Te dicen que tenes una familia de curvas J, tales que su recta normal en cada punto es tangente a una parábola que te dan como dato. La idea es relacionar las ecuaciones de las rectas normales a tu familia J y la tangente a tu parábola, para formar la ecuación diferencial. Primero trabajemos con la parábola.
Como bien dice el enunciado, las rectas normales de J son tangentes a la parábola, es decir que está involucrada la derivada de la misma, la cual sera:
\[y`=2Kx\]
Para trabajar con la ED, necesitamos deshacernos de la constante. Despejamos de la ecuación original:
\[K = \frac{y}{x^2}\]
Y ahora volvemos a la derivada:
\[y` = 2Kx\]
\[y` = 2\frac{y}{x^2}x = 2\frac{y}{x}\]
Ahora trabajemos con J. Nos dijeron en el enunciado que sus rectas normales en cada punto son tangentes a la parábola, nos piden hallar la familia de curvas ortogonales. Para esto igualamos:
\[-\frac{1}{y`_{J}} = y`_{parabola}\]
\[-\frac{1}{y`} = 2\frac{y}{x}\]
Usando notación de leibniz:
\[-\frac{dx}{dy} = 2\frac{y}{x}\]
\[-\frac{xdx}{2} = ydy\]
Integrando nos queda:
\[-\frac{x^2}{4}+C = \frac{y^2}{2}\]
Como nos piden hallar la solucion que pasa por (0,1), reemplazando queda que:
\[C = \frac{1}{2}\]
Volviendo a la SG:
\[-\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2} = \frac{y^2}{2}\]
Multiplicamos por 2:
\[-\frac{x^2}{2}+1 = y^2\]
Te dicen que tenes una familia de curvas J, tales que su recta normal en cada punto es tangente a una parábola que te dan como dato. La idea es relacionar las ecuaciones de las rectas normales a tu familia J y la tangente a tu parábola, para formar la ecuación diferencial. Primero trabajemos con la parábola.
Como bien dice el enunciado, las rectas normales de J son tangentes a la parábola, es decir que está involucrada la derivada de la misma, la cual sera:
\[y`=2Kx\]
Para trabajar con la ED, necesitamos deshacernos de la constante. Despejamos de la ecuación original:
\[K = \frac{y}{x^2}\]
Y ahora volvemos a la derivada:
\[y` = 2Kx\]
\[y` = 2\frac{y}{x^2}x = 2\frac{y}{x}\]
Ahora trabajemos con J. Nos dijeron en el enunciado que sus rectas normales en cada punto son tangentes a la parábola, nos piden hallar la familia de curvas ortogonales. Para esto igualamos:
\[-\frac{1}{y`_{J}} = y`_{parabola}\]
\[-\frac{1}{y`} = 2\frac{y}{x}\]
Usando notación de leibniz:
\[-\frac{dx}{dy} = 2\frac{y}{x}\]
\[-\frac{xdx}{2} = ydy\]
Integrando nos queda:
\[-\frac{x^2}{4}+C = \frac{y^2}{2}\]
Como nos piden hallar la solucion que pasa por (0,1), reemplazando queda que:
\[C = \frac{1}{2}\]
Volviendo a la SG:
\[-\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2} = \frac{y^2}{2}\]
Multiplicamos por 2:
\[-\frac{x^2}{2}+1 = y^2\]
13-10-2014, 22:37
durasno acá lo tenés: http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-an%...-1-ej-13-b
también hay más ejercicios de la guía resueltos acá: http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-an%...-gu%C3%ADa
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