Hola, quisiera preguntarles como se hace para trabajar con coordenadas polares cuando tengo algo como lo siguiente:
4x^2 + y^2 = 4
Sé como pasar a polares cuando está corrido del centro, por ejemplo: (x-1)^2 + y^2 = 4 ... Pero con el caso que les planteo mas arriba no se como resolverlo.
Gracias chicos desde ya.
Lo que hago yo es, dividir todo por 4, te quedaria:
x^2 + 1/4y^2 = 1
Metes el 1/4 adentro del cuadrado y te quedaria :
×^2 + (y/2)^2 =1
Entonces te queda
x = r.cost
Y/2= r.sent =》y= 2.r.sent
Espero que se haya entendido.
(30-11-2014 22:31)Tucan escribió: [ -> ]Hola, quisiera preguntarles como se hace para trabajar con coordenadas polares cuando tengo algo como lo siguiente:
4x^2 + y^2 = 4
Sé como pasar a polares cuando está corrido del centro, por ejemplo: (x-1)^2 + y^2 = 4 ... Pero con el caso que les planteo mas arriba no se como resolverlo.
Gracias chicos desde ya.
Lo que tenés ahi es una elipse, que tiene la siguiente forma:
\[\frac{4x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} = 4\]
Tenés que llevarla a esa forma pasando el 4 al otro lado, te queda:
\[x^{2}+\frac{y^{2}}{4} = 1\], con a=2 y b=1.
Gráfico
Tenés que usar coordenadas elípticas y te queda algo asi:
\[\left\{\begin{matrix}x = b.\rho. cos \varphi = \rho .cos \varphi \\ y = a.\rho .sen\varphi = 2.\rho .sen \varphi \\ \end{matrix}\right.\]
\[0 < \varphi < 2\pi \]
\[0 < \rho < 1\]
El jacobiano es igual a: \[J = a.b.\rho = 2\rho \]
Queda:
x=r. cos (t)
y=r. 1/2 sen (t)
y el jacobiano es: 1/2.r
Por ende queda:
r^2=4
r=2
los limites de integracion: teta de 0 a 2pi y ro de 0 a 2
Muchas gracias a ambos!!!
Entre la respuesta de Gan y la de Pabloc difiere el Jacobiano. Cuál es el que realmente se toma?
Resolví el Jacobiano aplicando el determinante y me dio r/2 .. Es decir, lo mismo a que a Pabloc
Tucan, es lo mismo, depende como lo plantees...
\[\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (2\rho) d\rho d\varphi = \int_{0}^{2\pi} 1 d\varphi = 2\pi\]
\[\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} (\frac{1}{2}\rho) d\rho d\varphi = \int_{0}^{2\pi} 1 d\varphi = 2\pi\]
Tenes razón @Gan!!! Gracias nuevamente!
En realidad son coordenadas elipticas
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