UTNianos

Buenas a todos, adjunto 2 ejercicios de los cuales tengo dudas.

3) Para que el cálculo sea independiente del camino, el campo tiene que ser campo de gradientes, planteo la matriz jacobiana y encuentro que k tendría que valer 0. (k=0).
Luego calculo la función potencial (voy bien hasta ahí?) Me da \[\phi =y^{2}z\]
Después con el tema de la curva, se me estaría complicando parametrizarla. Estoy en lo correcto si luego planteo que \[Trabajo=\phi (g(a))-\phi (g(b))\]
(porque es independiente del camino, y como me lo pide en el primer octante tendría \[a=0 \wedge b=\frac{\pi }{2}\]

4) Acá con este ya me mataron. La superficie que me dan es abierta, entonces tranquilamente puedo calcular el fujo del rotor que me da \[4\pi \] (puede que esten mal los cálculos, pero ahí no radica mi problema). El tema es después cuando me piden corroborar el resultado con una correcta aplicación del teorema de Gauss. Como la superficie es abierta, tendría que cerrarla, y calcularía un flujo total de la superficie (que por cierto es un paraboloide elíptico para abajo) que tiene volumen. Ahora bien, cómo relaciono las dos cuestiones? Me suena que al fujo total le tengo que restar algo para que me corrobore el valor del flujo del rotor, no se me ocurre qué o cómo encarar este.

Muchas gracias!

Tenes que restarle el flujo de la tapa(z=0).
Trate de hacerlo pero hay algo que no me cierra..
Se que la DIVF=1+2z
Flujototal=\[\int \int \int 1+2zdxdydz\]
y pasando a cilindricas me queda \[\tfrac{88}{3}\pi \] wolfram

Flujo de la tapa z=0 la normal seria (0,0,-1)
Flujotapa=\[\int \int (x-y,2z,0^{2}-x).(0,0,-1)dxdy\]

\[\int \int xdxdy\] y pasando a cilindricas me da 0 wolfram
y el flujo que me piden= flujo total - flujo tapa= \[\tfrac{88}{3}\pi \]

PD: En el punto A, hallé la circulación con el rotor y me da \[4\pi \] .. pero acá tengo una duda te piden el flujo del rotor..no se si la rpta sería\[4\pi \] o tendrías que hacer algo más..

(04-12-2014 20:33)Pattie escribió: [ -> ]Buenas a todos, adjunto 2 ejercicios de los cuales tengo dudas.

3) Para que el cálculo sea independiente del camino, el campo tiene que ser campo de gradientes, planteo la matriz jacobiana y encuentro que k tendría que valer 0. (k=0).
Luego calculo la función potencial (voy bien hasta ahí?) Me da \[\phi =y^{2}z\]

si estan bien hechas las cuentas ... SI

Cita:Después con el tema de la curva, se me estaría complicando parametrizarla.

Para que ?? onda si ya dijiste que el circulacion es independiente de la trayectoria no es necesario parametrizar nada

Cita: Estoy en lo correcto si luego planteo que \[Trabajo=\phi (g(a))-\phi (g(b))\]

en realidad es

\[\omega=\phi(B)-\phi(A)\]

Cita:y como me lo pide en el primer octante tendría \[a=0 \wedge b=\frac{\pi }{2}\]

Vos sabes que la curva se proyecta sobre el plano xy en el primer octante con los siguientes puntos

A'=(2,0,0) B'(0,2,0)

los puntos de corte del plano y el cilindro los obtenes de

\[C=\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=4\\ z=3x+y \end{matrix}\right.\]

entonces tenes que

\[A=(2,0,6) B=(0,2,2)\]

finalmente , usando tu funcion potencial

\[\omega=\phi(0,2,2) -\phi(2,0,6)=8\]

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Cita:4) Acá con este ya me mataron. La superficie que me dan es abierta, entonces tranquilamente puedo calcular el fujo del rotor que me da \[4\pi \] (puede que esten mal los cálculos, pero ahí no radica mi problema). El tema es después cuando me piden corroborar el resultado con una correcta aplicación del teorema de Gauss. Como la superficie es abierta, tendría que cerrarla, y calcularía un flujo total de la superficie (que por cierto es un paraboloide elíptico para abajo) que tiene volumen. Ahora bien, cómo relaciono las dos cuestiones? Me suena que al fujo total le tengo que restar algo para que me corrobore el valor del flujo del rotor, no se me ocurre qué o cómo encarar este.

Muchas gracias!

por definicion de flujo

\[\varphi=\iint_R fnds=\iint_R rot(f)nds\]

el rotor de f es

\[rot f=(-2,1,1)\]

hay que tomar la normal saliente a la superficie, ya que nos piden que verifiquemos gauss entonces

\[n=(2x,2y,1)\]

tomando polares sobre la region

\[\varphi=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}-4r^2\cos\theta+2r^2\sin\theta+rdrd\theta=4\pi\]

verifinquelo con wolfram

para aplicar gauss simplemente hay que utilizar la definicion convenientemente , necesitamos calcular el flujo sobre S , para eso como dicen hay que restarle la tapa

\[\iint_S fnds=\iiint_V div(rot f) dV-\iint_T rot f n dA \]

la divergencia del rotor da 0

La tapa , tomando normal saliente a S queda definida por la integral

\[\iint_T rot f n dA=\iint_T (-2,1,1)(0,0,-1)dA=-\iint_T dA=\pi R^2=-4\pi\]

luego

\[\iint_S fnds=\iiint_V div(rot f) dV-\iint_T rot f n dA=0-(-4)\pi\]

finalmente

\[\varphi=\iint_S f nds=4\pi\]

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Sino me equivoco, joburu y Pattie calcularon la circulacion y el ejercicio pide el flujo del rotor

Muchísimas gracias a los dos! Estuve viendo y en el primer ejercicio me queda
\[\omega = 8\]
Ya que según la funcipon potencial que hallé
\[\phi (0,2,2)-\phi (2,0,6) = 8-0=8\]

Después en el otro punto, yo calculé el rotor y me quedó
\[rot f= (-2,1,1)\]
Por eso, luego al calcular el flujo del rotor me queda
\[\int \int rot f*n*dS= 4\pi \]

Luego había pensado hacer eso de la divergencia del rotor, y claro que me daba nula, por lo que me llamaba la atención.

Después no logro comprender por qué termina siendo
\[\int \int f*n*ds=\int \int \int div(rotf)dv - \int \int rotf*n*dA\]

Creo que no tengo bien en claro que me representa el rotor y la divergencia en este ejercicio para que luego me quede que el flujo de f a través superficie S sea igual a esa resta de integrales. Porque es una cuenta facil, el hecho es saber deducirla y creo que tengo flojo ese concepto.

Saludos y otra vez muchas gracias!

Lo que te esta confundiendo es el hecho de que no te piden el flujo de f, sino del rot f... lo unico que hay que hacer es cambiar en las definiciones correspondientes , donde dice f, poner rot(f) nada mas.... y tenes razon en las cuentas, edite mi mensaje... esta dormido jejeje