¿Alguien sabe cómo se hace El 2b) y 5b) ?
1a) VERDADERO
g(0)=0, El limite también da 0 por ser infinitésimo por acotada
1b) La suma de la Serie: \[S=\lim_{n \to \infty} Sn\]
Aplicando límite en todos los miembro, si da lo mismo tanto en la izquierda como en la derecha se puede aplicar T.I: Teorema de Intercalación (Sandwich)
\[\lim_{n \to \infty}\frac{2n^3+1}{4n^3-1}+\frac{1}{2}\leq \lim_{n \to \infty} Sn\leq \lim_{n \to \infty}(\frac{ (n^2+3}{n^2+1})^{n}\]
En la izquierda: Cociente de polinomios del mismo grado, el Límite da el cociente entre los coeficientes principales + 1/2
En la derecha tenemos \[(\rightarrow 1)^{(\rightarrow\infty)} \], que hay que llevarlo a la forma del límite e:
..........................................\[\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e\]
IZQUIERDA: \[\lim_{n \to \infty}\frac{2n^3+1}{4n^3-1}+\frac{1}{2}=>\frac{2}{4}+\frac{1}{2}=1\]
DERECHA: \[\lim_{n \to \infty}(\frac{n^2+3}{n^2+1})^{n}=>\lim_{n \to \infty}(\frac{(n^2+1)+3-1}{n^2+1})^{n}=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{2}{n^2+1})^{n}\]
\[=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{n^2+1}{2}})^{n}=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{n^2+1}{2}})^{n*\frac{n^2+1}{2}*\frac{2}{n^2+1}}\]
\[=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{n^2+1}{2}})^{\frac{n^2+1}{2}^{\frac{2n}{n^2+1}}}\]
\[=>e^{\lim_{n \to \infty \frac{2n}{n^2+1}}}=> e^0=1\]
Entonces
\[1\leq \lim_{n \to \infty} Sn\leq 1\]
Por lo tanto
\[S= \lim_{n \to \infty} Sn=1\]
La serie es Convergente, Su suma da 1 y como es convergente, cumple la condición necesaria:
\[\lim_{n \to \infty} an=0\]
Entonces FALSO
2a)
Aproximación Lineal, o Polinomio de Taylor de 1er Grado
\[f(x)=f(xo)+f'(xo)(x-xo)\]
En este caso la función que se quiere aproximar es:
\[f(x)=\sqrt[3]{x^2}\]
alrededor de 8, xo=8
\[f(8)=\sqrt[3]{8^2}=4\]
\[f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}} => f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\]
\[f'(8)=\frac{2}{3}8^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}*\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{3}\]
La ecuación de la aproximacion lineal queda:
\[f(x)= 4+\frac{1}{3}(x-8)\]
Entonces el valor aproximado es
\[f(8,2)\approx 4+\frac{1}{3}(8,2-8)\approx 4+\frac{1}{3}0,2\approx 4,066666\]
Que es bastante cercano al de la calculadora: 4,066391931
El diferencial de una función mide cuánto se incrementa la ordenada de la recta tangente de una función, al pasar del punto de tangencia a otro cercano
En el gráfico sería la altura del triángulo que se forma marcando el punto (xo,f(xo)) y (xo+deltax,f(xo*+deltax) sobre la recta tangente
tg(alfa)= Altura/base
La tangente del angulo es la pendiente, que es la derivada
dy=f'(x).dx
3a) \[Df= R\] ,
ASINTOTAS
No hay A.V, porque no hay problemas con el Dominio.
A.H
\[\lim_{x \to \infty} x*e^{-x^2}\]
Vale tanto para \[+\infty\] como para \[-\infty\] por el elevado al cuadrado.
\[\lim_{x \to \infty} \frac {x}{e^{x^2}}=>\frac {\rightarrow \infty}{\rightarrow\infty}\] , Se puede aplicar L'Hopital
\[\lim_{x \to \infty} \frac {1}{e^{x^2}*2x}=>L=0\]
A.H para \[+\infty\] y \[-\infty\]: y=0.
al Haber A.H no hay A.O
EXTREMOS
\[{f}'(x)= e^{-x^2}+x*e^{-x^2}*(-2x)\]
\[{f}'(x)= e^{-x^2}(1-2x^2)\]
\[{f}'(x)=0\]
\[e^{-x^2}(1-2x^2)=0\]
\[1-2x^2=0\]
\[|x|=\sqrt\frac{1}{2}\]
\[x=\sqrt\frac{1}{2}\vee x=-\sqrt\frac{1}{2}\]
Para ver si son máximos o mínimos conviene el criterio de la derivada primera...
donde f'(x)>0 f crece, f'<0 f decrece
\[{f}'(x)= e^{-x^2}(1-2x^2)>0\]
\[e^{-x^2}>0\] siempre positivo
\[1-2x^2>0\]
\[-2x^2>-1\]
\[x^2<\frac{-1}{-2}\] ,OJO que invierte desigualdad
\[|x|<\frac{\sqrt2}{2}\]
Entonces intervalo donde f crece: \[(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\]
y f decrece en: \[(-\infty,-\frac{\sqrt2}{2})\cup (\frac{\sqrt2}{2},+\infty)\]
Por lo tanto
como por izquierda de \[-\frac{\sqrt2}{2}\] venia decreciendo y luego empezó a crecer
\[x=-\frac{\sqrt2}{2}\] es un mínimo
Mismo análisis y se llega a que \[x=\frac{\sqrt2}{2}\] es un Máximo
INFLEXION
\[f''(x)=0\]
\[f''(x)= e^{-x^2}(-2x)*(1-2x^2)+e^{-x^2}*(-4x)\]
puedo sacar factor comun \[-2x.e^{-x^2}\]
\[f''(x)= e^{-x^2}(-2x)*((1-2x^2)+2)\]
\[f''(x)= e^{-x^2}(-2x)*(-2x^2+3)\]
entonces, igualando a 0 para sacar los valores:
\[e^{-x^2}(-2x)*(-2x^2+3)=0\]
\[-2x=0\]
\[x=0\]
\[-2x^2+3=0\]
\[x^2=\frac{-3}{-2}\]
\[|x|=\sqrt\frac{3}{2}\]
\[x=0 \vee x=\sqrt\frac{3}{2} \vee x=-\sqrt\frac{3}{2}\]
Y comprobarías que son puntos de inflexión o no evaluandolos en la derivada 3ra y que de distinto de 0, o viendo si cambia o no el signo de la derivada segunda
el gráfico en wolphram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=inf...%5E2%29%29
4)
\[F(0)= \int_{0}^{2*0^2+5*0}e^{f(t)}dt=\int_{0}^{0}e^{f(t)}dt=0\]
=>
F(0)=0
\[F'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \int_{0}^{2x^2+5x} e^{f(t)}dt=> F'(x)= e^{2x^2+5x}*(4x+5)\]
\[F'(0)= e^{2*0^2+5*0}(4*0+5)=e^0*5=5\]
=>
F'(0)=5
\[F''(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}F'(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^{2x^2+5x}*(4x+5)]\]
=>\[F''(x)=e^{2x^2+5x}(4x+5)*(4x+5)+e^{2x^2+5x}*4=e^{2x^2+5x}[(4x+5)^2+4]\]
\[F''(0)= e^{2*0^2+5*0}((4*0+5)^2+4)=e^0*(5^2+4)=29\]
=>
F''(0)=29
\[F'''(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^{2x^2+5x}[(4x+5)^2+4]]=e^{2x^2+5x}(4x+5)*[(4x+5)^2+4]+e^{2x^2+5x}[2(4x+5)*4]\]
\[F'''(x)=e^{2x^2+5x}(4x+5)[[(4x+5)^2+4]+8(4x+5)]\]
\[F'''(0)=e^{2*0^2+5*0}(4*0+5)[[(4*0+5)^2+4]+8(4*0+5)]=1(5)[[(5)^2+4]+8(5)]= 5[29]+40=145+40=185\]
=>
F'''(0)=185
El polinomio de Taylor en x=0 de grado 3 de F(x) sería:
\[T(x)=F(0)+F'(x)x+\frac{F''(x)}{2!}x^2+\frac{F'''(x)}{3!}x^3\]
\[T(x)=0+5x+\frac{29}{2}x^2+\frac{185}{6}x^3\]
\[T(x)=5x+\frac{29}{2}x^2+\frac{185}{6}x^3\] FIN.
5a)
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|\frac{x^n}{(n+1)2^n}}|=>\lim_{n \to \infty}|\frac{\sqrt[n]{x^n}}{\sqrt[n]{(n+1)}*\sqrt[n]{2^n}}|<1=>\]
\[=>\lim_{n \to \infty} |\frac{x}{\sqrt[n]{n+1}*2}|<1=>|\frac{x}{1*2}|<1=>|x|<2=>-2<x<2\]
hasta el momento sabemos que en el intervalo de convergencia sería (-2,2)
faltan evaluar los extremos, no hace falta evaluar los dos extremos, ya que solo piden que demostremos que es CV en el extremo inferior
o sea en x=-2.
Nos pide demostrar. ES CV, no les puede dar que no es
vamos a hacerlo.
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{(n+1)*2^n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\frac{-2}{2})^n}{(n+1)}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)}\]
Tenemos una serie alternada, hay que ver si se cumple Leibniz
i)\[\lim_{n \to \infty } an =0\]
ii) terminos decrecientes.... \[a_{n+1}<a_{n} \] o lo que es lo mismo \[a_{n-1}>a_{n} \]
\[i) \lim_{n \to \infty } \frac{1}{(n+1)}=0\]
\[ii) n<n+1\]
damos vuelta, y se invierte la desigualdad
\[\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}\]
y llegamos a: \[a_{n-1}> an\]
Se cumple i) y ii) Entonces CV para x=-2, -2 pertenece al intervalo de convergencia. DEMOSTRADO
(31-07-2015 11:11)Damianx escribió: [ -> ]En el aula en la que estuve, nos dijeron que en el ejercicio 4) f ' (0) = 1 y f ''(0) = 1, a ustedes les dijeron otra cosa?
En el de él lo mismo si , si miras la imagen