19-01-2016, 21:51
Buenas, tengo algunas dudas sobre como plantear el siguiente ejercicio:
Calcular el volumen limitado por el hiperboloide \[x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\] y los planos \[z=0\] y \[z=1\]
Si lo graficamos quedaría el hiperboloide de una hoja paralelo al eje z, delimitado por los planos z=0 y z=1.
Yo pensaba en plantearlo como el E2 del final del 2/12/2014, en donde ro varia respecto de z.
La idea quedaria algo asi:
\[V=\int_{\phi =0}^{\phi =2\pi } \int_{Z=0}^{Z=1} \int_{\rho=0}^{\rho=\sqrt{1+Z^{2}}} \rho d\rho dzd\phi = \frac{4}{3}\pi \]
Esta bien pensarlo de esta manera?
Otra alternativa que pense fue, proyectando en el plano xy y usando polares, hacer que z varie en funcion de ro:
\[V=\int_{\phi =0}^{\phi =2\pi } \int_{\rho=1}^{\rho=2}\int_{Z=0}^{Z=\sqrt{\rho^{2}-1}} \rho dzd\rho d\phi = 2\sqrt{3}\pi \]
Si alguien puede mirarlo a ver en que le pifie se agradece.
Calcular el volumen limitado por el hiperboloide \[x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\] y los planos \[z=0\] y \[z=1\]
Si lo graficamos quedaría el hiperboloide de una hoja paralelo al eje z, delimitado por los planos z=0 y z=1.
Yo pensaba en plantearlo como el E2 del final del 2/12/2014, en donde ro varia respecto de z.
La idea quedaria algo asi:
\[V=\int_{\phi =0}^{\phi =2\pi } \int_{Z=0}^{Z=1} \int_{\rho=0}^{\rho=\sqrt{1+Z^{2}}} \rho d\rho dzd\phi = \frac{4}{3}\pi \]
Esta bien pensarlo de esta manera?
Otra alternativa que pense fue, proyectando en el plano xy y usando polares, hacer que z varie en funcion de ro:
\[V=\int_{\phi =0}^{\phi =2\pi } \int_{\rho=1}^{\rho=2}\int_{Z=0}^{Z=\sqrt{\rho^{2}-1}} \rho dzd\rho d\phi = 2\sqrt{3}\pi \]
Si alguien puede mirarlo a ver en que le pifie se agradece.