Hola,
Estoy apunto de rendir el primer parcial de A.M II y tengo algunos ejercicios que no me salen
Si alguien sabe y quiere resolver alguno le agradecería la ayuda
Cita:--1--Defina función diferenciable en A cuando \[f:\Re ^{ n }\rightarrow \Re ^{m}\]. Interprete geométricamente el diferencial total. Si \[f(x,y)={ x }^{ 2 }+x{ y }^{ 2 }\]; y g \[\epsilon \] C1(\[\Re ^{ 2 }\]) es tal que g(1,1) = (2, – 1) y Dg(1,1) = \[\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\], calcule una aproximación lineal de f(g(1.01, 0.98)).
Duda: Lo de función diferenciable lo entiendo pero ¿qué significa interpretar el diferencial total geométricamente? Y después tampoco me sale lo demás :c
Cita:--2-- El plano \[2x-6y+3z-49=0\] es tangente a la esfera: \[{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=49\]. Encontrar las coordenadas del punto de contacto y la ecuación del otro plano tangente paralelo al dado.
Cita:--3-- Sea \[f(u,z)={u}^2+2uz\] donde z es función de x e y definida por la ecuación
\[xz+y{e}^{z-1}=2\] , resultando \[w(u,x,y)=f(u,z(x,y))\]. Hallar el gradiente de w en el punto (1,1,1).
Cita:--4-- Dada \[f(x,y)=y.h(x)\ con \ h \epsilon C^1\] . Determinar el valor y dirección de la derivada direccional máxima de f(x,y) en (0,2) si h(x,y) verifica la siguiente ecuación diferencial \[x.h'-(1+2x).h=0\] con \[h(1)=3e^2\]
Cita:--5-- Sea u=z.v con v=f(x,y) definida implícitamente por la ecuación xv-x-y lnv=0. Hallar los puntos de la superficie de nivel u=4 para los cuales la recta normal a esta superficie sea paralela al eje z.
(06-08-2016 23:26)Saga escribió: [ -> ]mmm , hiciste alguno ??
Saga Sí pero no creo que estén bien
Hice el 1, 2, 3. El 4 no se como continuar y el 5 ni idea por dónde empezar :c
A ver el ejercicio 1 no se , hiciste una ensalada de frutas cuando la receta la tenias para una tarta de limon jeje
necesitas obtener el plano tangente a esa superficie dada f(x,y), para ello defino h=f(g(x,y)) y tomo el punto A(1,1) punto cercano al (1,01;0,98) , entonces la aproximacion esta definida como
\[z=h(1,1)+\dfrac{dh}{dx}\cdot(x-1)+\frac{dh}{dy}\cdot (y-1)\]
tus incognitas a hallar son las derivadas parciales de h, las cuales las obtenes por la regla de la cadena de la composicion de funciones , la cual esta definida como
\[\nabla h(1,1)=\nabla f(g(1,1))\cdot \nabla g(1,1)\]
de donde queda que
\[\nabla h(1,1)=\nabla f(2,-1)\cdot \nabla g(1,1)\]
ya tenes todos los datos para encontrar las parciales de h , solo hay que calcular el grdiente de f y evaluarlo en el (2,-1) y hacer el producto matricial
para el segundo , solo es hacer un ejercicio de aga , tu procedimiento esta casi bien solo que te olvidaste plantear la constante de proporcionalidad que esta en la misma definicion de vectores paralalelos
\[\vec u={\color{Red} \lambda} \vec v\]
3)Primero hay que obtener el plano tangente a esa superficie definida en forma implicita usando couchy dini , con eso obtenes z(x,y), luego para el gradiente de w lo podes hacer por dos caminos , o compones o utilizas la regla de la cadena .
Veo tu resolucion de este apartado y la verdad no la entiendo bien , en un rato sigo con los otros.
(07-08-2016 15:08)Saga escribió: [ -> ]
A ver el ejercicio 1 no se , hiciste una ensalada de frutas cuando la receta la tenias para una tarta de limon jeje
necesitas obtener el plano tangente a esa superficie dada f(x,y), para ello defino h=f(g(x,y)) y tomo el punto A(1,1) punto cercano al (1,01;0,98) , entonces la aproximacion esta definida como
\[z=h(1,1)+\dfrac{dh}{dx}\cdot(x-1)+\frac{dh}{dy}\cdot (y-1)\]
tus incognitas a hallar son las derivadas parciales de h, las cuales las obtenes por la regla de la cadena de la composicion de funciones , la cual esta definida como
\[\nabla h(1,1)=\nabla f(g(1,1))\cdot \nabla g(1,1)\]
de donde queda que
\[\nabla h(1,1)=\nabla f(2,-1)\cdot \nabla g(1,1)\]
ya tenes todos los datos para encontrar las parciales de h , solo hay que calcular el grdiente de f y evaluarlo en el (2,-1) y hacer el producto matricial
para el segundo , solo es hacer un ejercicio de aga , tu procedimiento esta casi bien solo que te olvidaste plantear la constante de proporcionalidad que esta en la misma definicion de vectores paralalelos
\[\vec u={\color{Red} \lambda} \vec v\]
3)Primero hay que obtener el plano tangente a esa superficie definida en forma implicita usando couchy dini , con eso obtenes z(x,y), luego para el gradiente de w lo podes hacer por dos caminos , o compones o utilizas la regla de la cadena .
Veo tu resolucion de este apartado y la verdad no la entiendo bien , en un rato sigo con los otros.
Saga
Ahhh el 1 era más sencillo jeje
El 3 lo que quise hacer fue que como tenía que averiguar las derivadas parciales de W era lo mismo que calcular las derivadas parciales de f. Entonces hice algo así:
\[f'_x = 2u. z'_x\] y para averiguar \[z'_x\] usé Cauchy-Dini.
Después evalué todo en el punto.
(07-08-2016 18:19)Omnipresent escribió: [ -> ]El 3 lo que quise hacer fue que como tenía que averiguar las derivadas parciales de W era lo mismo que calcular las derivadas parciales de f. Entonces hice algo así:
\[f'_x = 2u. z'_x\] y para averiguar \[z'_x\] usé Cauchy-Dini.
Después evalué todo en el punto.
ok esta bien .
4) primero hay que encontrar h para eso tenes que resolver la ED que tenes ahi , si dividis todo por x ,y haciendo operaciones de pasaje correspondientes tenes que
\[h'=\frac{1+2x}{x}h=\frac{dh}{dx}\to \int\frac{dh}{h}=\int\frac{1+2x}{x}dx\]
tenes las condiciones iniciales para saber cuanto vale la constante de integracion
5) hay que hallar primero v, para eso usa couchy dini sobre esa ecuacion de forma implicita , con eso podes definir v(x,y), luego reemplazar en u=z.v , y despues hallar la recta normal a la superficie de nivel 4=z.v, en particular te piden la recta normal paralela al eje z, pero primeramente tenes que hallar v
me sumo al pedido de la resolución del 5, hice cauchy dini pero después no sé que más hacer
gracias!!
(08-08-2016 02:50)Tenshi escribió: [ -> ]me sumo al pedido de la resolución del 5, hice cauchy dini pero después no sé que más hacer
gracias!!
como te quedo expresada la aproximacion cuando aplicaste couchy dini?