UTNianos

Buenas gente, les hago una consulta del siguiente ejercicio:

02) Calculen las siguientes integrales en ambos órdenes de integración y verifique que los resultados coinciden.

d) \[\iint_{D} f(x,y)dxdy\] D definido por: \[x^{2}-1\leq y \leq 1-x^{2}\], \[f(x,y)=\left\{\begin{matrix}xy & si & x\geq 0 \\ -2x & si & x< 0 \end{matrix}\right.\]

Queda el recinto de integración es el área comprendida entre las dos parábolas.

Planteo la integral con los límites de integración en función de x:

\[\iint_{D} f(x,y)dxdy = \int_{-1}^{0}(\int_{x^{2}-1}^{1-x^{2}} (-2x)dy)dx + \int_{0}^{1}(\int_{1-x^{2}}^{x^{2}-1} (xy)dy)dx\]

Hasta ahí no tuve problemas... Resuelvo y es resultado es correcto...
El tema es que algo estoy planteando mal en a otra intergral y no logro darme cuenta...
¿Alguien me puede explicar cómo sería?...
Les agradezco de antemano!

PD: Sepan disculpar si ya está resuelto en algún otro post, sucede que no lo encontré cuando busqué.

Estimado, graficando la función sale que hay que integrar con los límites:

De -1 a 0
De -raíz(y+1) a 0
-2xdxdy

De 0 a 1
De -raíz(y+1) a 0
-2xdxdy

De -1 a 0
De 0 a raíz(y+1)
xydxdy

De 0 a 1
De 0 a raíz(1-y)
xydxdy

Y el resultado coincide. Disculpá que no sepa cómo poner los símbolos.

Gasolero, gracias por tu respuesta...

¿Estás seguro que es así?...

\[\iint_{D} f(x,y)dxdy = \int_{-1}^{0}(\int_{-\sqrt{y+1}}^{0} (-2x)dy)dx + \int_{0}^{1}(\int_{-\sqrt{y+1}}^{0} (-2x)dy)dx + \int_{-1}^{0}(\int_{0}^{\sqrt{y+1}} (xy)dy)dx + \int_{0}^{1}(\int_{0}^{\sqrt{1-y}} (xy)dy)dx \]

Te consulto porque no logro verlo en el gráfico...

Exacto, obviamente integrando primero en "x" y luego en "y". Se van cancelando los términos hasta llegar al valor de 1.

En ese orden te va a dar: -1/2+1+1-1/2+1/6-1/4+1/4-1/6=1

Saludos.