Calcule el area de las siguientes superficies
c) Trozo de superficie cilindrica \[x^{2}+z^{2}=4 \] con \[-x\leq y\leq x , z\geq 0\]
g) Superficie de ecuacion \[z=x^{2}-y\] con\[\left | y \right | < x , x < 1\]
Tengo duda para resolver esos dos, muchas gracias
Plantear los limites de las integrales y resolver...
Estimado, primero es conveniendo dibujar cada trozo de área de cada ejercicio.
En el c), el gráfico sería algo así como un octavo de un trozo de cilindro. Entonces proyectando la misma en el plano xy es un triángulo, de acá sacamos los límites de integración: el triángulo va de -x a x, y de 0 a 2 en la coordenada Y. Para ver qué vamos a integrar, vamos a la superficie cilíndrica:
F(x,y,z)=0=x^2+z^2-4
∇F=(2x,0,2z), donde el módulo de F'z es 2*raíz(4-x^2)
El módulo de ∇F entonces nos queda raíz(4x^2+4z^2)=2*raíz(x^2+z^2)=2*raíz(x^2+4-x^2)=4
Con esto vamos a la integral de superficie: integramos 4.dx.dy/2.raíz(4-x^2) desde -x a x, y luego de 0 a 2. Operando se llega a 8
En el g), realizamos lo mismo. Graficando nos dá un trozo de parábola inclinada. Proyectando el área en el plano xy es otro triángulo, de -x a x y de 0 a 1 en Y.
Vamos a la parábola
F(x,y,z)=0=x^2-y-z
∇F=(2x,-1,-1), donde el módulo de F'z es 1
El módulo de ∇F entonces es raíz(4x^2+2)=2*raíz(x^2+1/2)
Integrando 2*raíz(x^2+1/2).dx.dy desde -x a x, y luego de 0 a 1, se llega a raíz(6)-raíz(2)/3
Espero se haya entendido