UTNianos

Buen dia, como estan?
Di el final el dia 8-2 y me fue mal, me podran ayudar a resolver los ejercicios?

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Bueno, espero puedan ayudarme con los ejercicios que no logro resolver para poder prepararme mejor para el proximo miercoles.

Gracias.

Voy a usar = en vez de congruente para resolver mas rapido.

Ejercicio 1
1.a)

Si te fijas en el libro de catedra, en la pag 113 al final tenes un ejericio de este tipo, pero igual lo resulvo aca para vos.

no llego a distingir si dice n^3 a 2 es congruente modulo 2001(5), lo voy a hacer para 2

Resolucion

primero 2005>5 enotnces divido y queda n^2=1(5)

Te dice que (5, n)=1 son coprimos enotnoces por el pequeño teorema de fermat (a^p-1 = 1(p)) te queda que n=1(5).

elevo al cuadrado ambos miembros n^2=1(5) entonces queda demostrado que es congruente.

1.b) lo resolviste

1.c) Es una igualdad, se desarrollas el cubo, no te queda igual para ningun Z_n

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2. b + 3a b^2 + b^3 y a^3+b^3 son distintos, es falso das el contra ejemplo para terminar, creo.

Ejericio 2 es un ejericio de conjuntos, no de red, si esta aoctada, significa que esta acotada superiormente e inferiormente. Lo otro que dice es que la interseccion y union de los conjuntos X,Y,Z,T es el supremo e infimo del conjunto F. No estoy seguro como demostrarlo, peor me parece que la interseccion de estos cuatros conjunto es distinto al conjuunto de partes que resulta de P(A).

Ejericio 3
CLa={x e Z / xRa} ={x/ xRa si y solo si (-1)^x=(-1)â y x=a(3) }

Miuchas gracias!!
me ayuda muchisimo la resolucion.

Con respecto al 5.2 sabes si esta bien mi resolucion o como lo encare almenos?

Hola a todos! Un poco tarde pero vale (?).

(15-02-2017 15:00)dragons_m escribió: [ -> ]1.c) Es una igualdad, se desarrollas el cubo, no te queda igual para ningun Z_n

no es cierto.

Copio y empiezo:
Demostrar o refutar en \[\mathbb{Z}_{3}\]: \[\left ( a + b \right )^{3} = a^{3} + b^{3}\].

Esto es verdadero, porque el universo sobre el que se está trabajando es \[\mathbb{Z}_{3}\], y no para cualquier \[n\].

\[\left ( a + b \right ) ^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\], ahora es donde entra en juego el universo:

\[3a^{2}b \equiv 0 \quad \left ( 3 \right )\] porque el \[3\] dentro de \[\mathbb{Z}_{3}\] es \[0\] (el resto de dividir \[3\] por \[3\]). Y lo mismo ocurre con
\[3ab^{2} \equiv 0 \quad \left ( 3 \right )\]

Entonces:
\[\left ( a + b \right ) ^{3} = a^{3} + 0 + 0 + b^{3} = \underline{\overline{a^{3} + b^{3}}}\] (siempre en \[\mathbb{Z}_{3}\], a no confundir), por lo tanto es verdadero.

Saludos!

(15-02-2017 15:00)dragons_m escribió: [ -> ]Ejericio 2 es un ejericio de conjuntos, no de red, si esta aoctada, significa que esta acotada superiormente e inferiormente. Lo otro que dice es que la interseccion y union de los conjuntos X,Y,Z,T es el supremo e infimo del conjunto F. No estoy seguro como demostrarlo, peor me parece que la interseccion de estos cuatros conjunto es distinto al conjuunto de partes que resulta de P(A).

Estoy viendo este final ahora, pero me parece que ese enunciado es verdadero, todavía no se exactamente como encararlo, y agradecería una mano sobre eso, pero lo que puedo decir es:

F está incluído en el P(A), por ende F={X,Y,Z,T} no debería ser entonces una combinación de elementos de A? Y como están con relación de orden de inclusión, tendrían una relación como en éste ejercicio


[img] http://prntscr.com/mdct7n [/img]


No se si alcanzará con el diagrama de Hasse como para asegurar que la afirmación sea verdadera, pero es algo.

Hola

(28-01-2019 13:57)IvanElfo escribió: [ -> ]\(F\) está incluido en el \(P(A)\), por ende \(F=\{X,Y,Z,T\}\) ¿no debería ser entonces una combinación de elementos de \(A\)? Y como están con relación de orden de inclusión, tendrían una relación como en éste ejercicio

¿A qué llamás "combinación de elementos de \(A\)"?

Sabemos que \(F\) es subcojunto de \(\mathcal P(A)\), es decir, los elementos de \(F\) son algunos elementos de \(\mathcal P(A)\), o lo que es lo mismo, son algunos subconjuntos de \(A\). Entonces \(\mathcal P(A)=\{X,Y,Z,T,\ldots\}\).

(28-01-2019 13:57)IvanElfo escribió: [ -> ]No sé si alcanzará con el diagrama de Hasse como para asegurar que la afirmación sea verdadera, pero es algo.

No, no alcanza.

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El enunciado dice:

Ejercicio 2 escribió:Probar o refutar la siguiente proposición. "Considerar el conjunto ordenado \((\mathcal P(A),\subseteq)\). Sea \(F\subseteq\mathcal P(A)\). Si \(F=\{X,Y,Z,T\}\), entonces \(F\) está acotado siendo \(X\cap Y\cap Z\cap T\) el ínfimo y \(X\cup Y\cup Z\cup T\) el supremo".

Verdadera. Recordemos que algunas definiciones.

Sean \((A,\preceq)\) un conjunto ordenado y \(\varnothing\neq B\subseteq A\).

Definición. Decimos que un conjunto está acotado si lo está acotado superior e inferiormente.

Definición. \(i\in A\) es cota inferior de \(B\) si y sólo si para todo \(x\in B\), \(i\preceq x\).

Definición. \(q\in A\) es ínfimo de \(B\) si y sólo si \(q\) es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.

Aquí, \(\preceq{=}\subseteq\), \(A=\mathcal P(A)\) y \(B=F\).

Primero nos dicen dónde vamos a trabajar. Vamos a trabajar en el conjunto de partes de un cierto conjunto \(\mathcal P(A)\) con la relación de orden inclusión \(\subseteq\).

Después nos dicen que considereremos un subconjunto de ese conjunto de partes; en concreto uno formado por cuatro elementos, por cuatro subconjuntos de \(A\): \(F=\{X,Y,Z,T\}\).

Y bajo todas estas condiciones nos piden que analicemos si es cierto que:

1. \(F\) está acotado.
2. \(X\cap Y\cap Z\cap T\) es el ínfimo de \(F\).
3. \(X\cup Y\cup Z\cup T\) es el supremo de \(F\).

Dado que si se cumplen 2 y 3 entonces automáticamente el conjunto está acotado (por tener ínfimo y supremo) nos ceñimos a estudiar esas dos condiciones. (Es cierto que el conjunto podría no tener supremo ni ínfimo y aun así estar acotado; pero dado que los apartados 2 y 3 nos obligan a estudiar la existencia de ínfimo y supremo, los analizo primero porque si existen ya tenemos resuelta la acotación. Si no existen, todavía debería analizar si el conjunto es o no acotado).

Comencemos por 2. Para ver que \(X\cap Y\cap Z\cap T\) es el ínfimo de \(F\), hay que ver que:

a. \(X\cap Y\cap Z\cap T\) es un elemento de \({\cal P}(A)\), es decir, \(X\cap Y\cap Z\cap T\) es un subconjunto de \(A\).

Cierto, porque \(X,Y,Z,T\subseteq A\) y la interescción de subconjuntos de \(A\) es un subconjunto de \(A\).
b. Que \(X\cap Y\cap Z\cap T\) es una cota inferior de \(F,\) es decir, que para cualquier \(B\in F\) se tiene que \(X\cap Y\cap Z\cap T\subseteq B\).

Pero es claramente cierto también. Los posibles valores de \(B\) son \(X,Y,Z,T\) y la intersección \(X\cap Y\cap Z\cap T\) está contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersecan.
c. Que \(X\cap Y\cap Z\cap T\) es el último elemento de las cotas inferiores. Es decir si \(B\in {\cal P}(A)\) es una cota inferior de \(F\) entonces \(B\subseteq X\cap Y\cap Z\cap T\).

Ahora si \(B\) es cota inferior de \(F\) para todo \(C\in F\) se tiene que \(B\subseteq  C\). Entonces como \(X,Y,Z,T\in F\) se tiene que \(B\subseteq X, B\subseteq Y, B\subseteq Z, B\subseteq T\) y por tanto \(B\subseteq X\cap Y\cap Z\cap T\).

De manera análoga se resuelve para el supremo.

Saludos.