03-07-2017, 02:57
14-07-2018, 12:33
Estoy queriendo resolver este final pero no puedo avanzar en el ejercicio 2 de integrales. Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral llego a encontrar la función f(x), pero cuando quiero hallar "a" no puedo avanzar. Además no veo bien si el límite de la integral es x^2. Asi que creo que lo estoy haciendo mal.
14-07-2018, 15:34
Hola
Vas bien.
Entiendo yo que el enunciado pide hallar una función f y un número real a tal que
\[\begin{matrix}6+\displaystyle\int_a^{x^2}{\dfrac{f(\sqrt t)}{t^3}\;\text dt}&=&2\sqrt x,&&&\color{red}{x>0\quad\text{(agregado)}}.\end{matrix}\]
Derivando a ambos miembros y utilizando la regla de la cadena en el primero llegamos a
\[\begin{array}{lcl}&f(x)&=&\dfrac {x^{9/2}}2\\\Rightarrow&f\left(x^{1/2}\right)&=&\dfrac {\left(x^{1/2}\right)^{9/2}}2\\\Rightarrow&f\left(x^{1/2}\right)&=&{x^{9/4}}/2.\end{array}\]
Luego este resultado lo ponemos en la ecuación integral original:
\[\begin{array}{lcl}&6+\displaystyle\int_a^{x^2}{\dfrac{t^{9/4}/2}{t^3}\;\text dt}&=&2\sqrt x\\\Rightarrow&6+\dfrac 12\displaystyle\int_a^{x^2}{t^{-3/4}\;\text dt}&=&2\sqrt x\end{array}\]
y sólo resta hallar el valor de a.
Terminalo...
Saludos.
(14-07-2018 12:33)Emmet escribió: [ -> ]Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral llego a encontrar la función f(x), pero cuando quiero hallar "a" no puedo avanzar. Además no veo bien si el límite de la integral es x^2. Así que creo que lo estoy haciendo mal.
Vas bien.
Entiendo yo que el enunciado pide hallar una función f y un número real a tal que
\[\begin{matrix}6+\displaystyle\int_a^{x^2}{\dfrac{f(\sqrt t)}{t^3}\;\text dt}&=&2\sqrt x,&&&\color{red}{x>0\quad\text{(agregado)}}.\end{matrix}\]
Derivando a ambos miembros y utilizando la regla de la cadena en el primero llegamos a
\[\begin{array}{lcl}&f(x)&=&\dfrac {x^{9/2}}2\\\Rightarrow&f\left(x^{1/2}\right)&=&\dfrac {\left(x^{1/2}\right)^{9/2}}2\\\Rightarrow&f\left(x^{1/2}\right)&=&{x^{9/4}}/2.\end{array}\]
Luego este resultado lo ponemos en la ecuación integral original:
\[\begin{array}{lcl}&6+\displaystyle\int_a^{x^2}{\dfrac{t^{9/4}/2}{t^3}\;\text dt}&=&2\sqrt x\\\Rightarrow&6+\dfrac 12\displaystyle\int_a^{x^2}{t^{-3/4}\;\text dt}&=&2\sqrt x\end{array}\]
y sólo resta hallar el valor de a.
Terminalo...
Saludos.
15-07-2018, 13:19
Gracias Manoooooh,
no estaba considerando que la función está evaluada en la raíz de x. Ese detalle cambia todo.
Saludos.
no estaba considerando que la función está evaluada en la raíz de x. Ese detalle cambia todo.
Saludos.