Hola
(06-07-2019 17:06)Pipe22 escribió: [ -> ]Me podrían pasar la resolución del mismo ya que lo que hice en el parcial no estaba bien y no entiendo de qué otra manera puedo hacerlo. Es el que dice "dada la curva representativa de la f(x)...."
Si no tenemos tu resolución jamás podremos decirte si hay otra manera de resolverlo, pero por las condiciones que impone no parece tener mucho sentido la respuesta.
Tenemos el enunciado:
Ejercicio 3, Parcial Parte B Análisis Matemático I 08/07/2014 escribió:Dada la curva representativa de la \[f(x)=\begin{cases}x^2-1,&x<1,\\\ln(x),&x\geq1,\end{cases}\] calcular el área limitada por la misma y el eje \(x\) a la derecha del extremo absoluto. Graficar.
Primero hallemos los puntos críticos de \(f\). Para ello imponemos \(f'(x)=0\): \[f'(x)=\begin{cases}2x,&x<1,\\\dfrac{1}{x},&x\geq1\end{cases}=0\implies2x=0\implies x=0,\] por tanto \(x=0\) es el único extremo. Para clasificarlo, observemos que \[f''(x)=\begin{cases}2,&x<1,\\-\dfrac{1}{x^2},&x\geq1\end{cases}\implies f''(0)=2>0,\] por tanto \(x=0\) es un mínimo (relativo) de la función \(f\), cuyo valor es \(f(0)=-1\).
Pero no basta con saber que el extremo es relativo pues el enunciado pide que busquemos los absolutos. Así que debemos probar que \(x=0\) es además un mínimo absoluto de \(f\). Para ello, debemos probar que para todo \(x\) se tiene que \(f(x)\geq f(0)\):
- Caso 1: \(x<1\). Tenemos \[f(x) = x^2 -1 \geq -1 = f(0).\]
- Caso 2: \(x\geq1\). En este caso tenemos que el logaritmo es una función creciente, entonces \[f(x) = \ln(x) \geq \ln(1) = 0 > -1 = f(0).\]
Hemos probado que para ambos casos se tiene \(f(x)\geq f(0)\), así que probamos que \(x=0\) es un mínimo absoluto.
Ahora bien, la ecuación del eje \(x\) es \(y=0\), además tenemos la de \(f(x)\), y sabemos que la región a la derecha del extremo absoluto (\(x=0\)) es \(x\geq0\). Por tanto un gráfico aproximado nos da:
De esta manera observamos que nos piden hallar \[\int_0^\infty f(x)\,\mathrm{d}x.\] Para \(x<1\) tenemos \(f(x)\leq0\), y para \(x\geq1\) tenemos \(f(x)\geq0\), así que el área pedida es \[A=-\int_0^1(x^2-1)\,\mathrm dx+\underbrace{\int_1^\infty\ln(x)\,\mathrm dx}_{(*)}.\] Pero \((*)\) es una integral que diverge (en el gráfico se aprecia que la función se va alejando cada vez más del eje \(x\)), por lo que \(A=\infty\).
Habría que preguntarle al profesor si el enunciado es tal como figura en la imagen, caso contrario la respuesta es que es el área es infinita.
Saludos.
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