UTNianos

buenass, hoy les vengo con otra duda muchachos, es un ejercicio que me re trabo, me gustaría si alguno lo puede hacer para comparar como venía yo y corregir los errores, desde ya muchas gracias y disculpen si jodo!!!!




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Recién me estoy iniciando Jaja

Fijate si estás haciendo algo similar.

\[z=2\]

\[z= 6 - \sqrt {x^2+y^2}\]

\[2=6-\sqrt{x^2+y^2}\]

\[x^2+y^2=16\]

\[\bar{\alpha }(t)=(t,\sqrt {16-t^2},2)\]

\[\bar{\alpha }'(t)=(1,\frac {-2t}{\sqrt {16-x^2}},0)\]

\[\int f[\bar{\alpha }(t)].\bar{\alpha }'(t)dt\]

Saludos!

Otra forma, recorda que el teorema del rotor relaciona integrales de linea con integrales dobles

\[\oint_C fds=\iint_\sigma rot(f) \hat{n}d\sigma\]

tenes la curva

\[C=\begin{Bmatrix} z+\sqrt{x^2+y^2}=6\\ z=2 \end{matrix}\]

operando de la manera que lo hizo maty obtenes

\[C=\begin{Bmatrix} x^2+y^2=16\\ z=2 \end{matrix}\]

1) parametrizamos dicha curva como


\[g(R,t)=(R\cos t,R\sin t,2)\]

2) calculamos la normal la cual viene dada por


\[\hat n =g'_R\times g'_t=\begin{bmatrix}{\cos t}&{\sin t}&{0}\\{-R\cos t}&{R\sin t}&{0}\end{bmatrix}=(0,0,R)\]

por definicion la curva debe estar orientada en forma positiva, entonces por regla de la mano derecha


\[\hat n=(0,0,R)\]

3) calculamos el rotor, por definción

\[rot (f)=\nabla\times f=\left(0,0, x^2+y^2)\] editado error en cuentas

4) evaluamos el rotor en la parametrizacion elegida


\[rot (f)=(0,0,{\color{Red} R^2})\] editado error en cuentas


5) reemplazando todos los datos obtenidos


\[\iint_\sigma rot(f)\hat{n}d\sigma=\iint(0,0,{\color{Red} R^2})(0,0,R)d\sigma\] editado error en cuentas


6) los limites de integracion van en funcion de la parametrizacion elegida

\[ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} R^3dRdt=128\pi\] editado error en cuentas

revisen las cuentas por las dudas

saludos

Gracias Saga, entonces decís que el método que utilicé yo está bien pero se puede resolver por el rotor.
Alguna cosillas ahora que estoy dedicándome unicamente a esta materia...

Pregunto: según mi planteo, ¿qué límites tiene la variable \[t?\]
Ah, podría ser que el problema está en que debería haberlo expresado en coordendas cilíndricas y decir que:
\[0\leq t \leq 2\pi ?\]

Ahora vamos a tu planteo. Cito una parte que no me quedó clara:

Cita:3) calculamos el rotor, por definción

\[rot (f)=\nabla\times f=\left(0,0,\frac{1}{3}\left(x^4+y^4\right)\right)\]

¿Cómo calculaste eso? (Seguro es fácil, pero no me sale).

\[f\] lo da como dato.

\[\nabla=(0,0,h'(z))\]

Si la gradiente llega a estar bien, al multiplicarla por la función no me queda lo que escribiste vos, o sí?

Saludos!



PD.: El resultado final según tu procedimiento me da \[\frac {4096 \pi} {9}\]
Si alguien más puede verificarlo se agradece.

(19-11-2011 10:15)matyary escribió: [ -> ]Gracias Saga, entonces decís que el método que utilicé yo está bien pero se puede resolver por el rotor.

asi es, esta bien tu planteo no lo continue porque me parecio hacer cuentas demas aparte considera que la raiz es positiva y negativa, y vos solo estas tomando la parte positiva te faltaria la parte negativa, o en su defecto parametriza la curva asi te evitas el tema de los signos de la raiz, pero si esta bien como lo encaraste

Cita:Alguna cosillas ahora que estoy dedicándome unicamente a esta materia...

Pregunto: según mi planteo, ¿qué límites tiene la variable \[t?\]
Ah, podría ser que el problema está en que debería haberlo expresado en coordendas cilíndricas y decir que:
\[0\leq t \leq 2\pi ?\]

No use cilindricas solo parametrize nada mas, el cambio de coordenadas es una cosa muy distinta a la parametrizacion, no son lo mismo, fijate este enlace http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-am2...as-polares

Cita:Ahora vamos a tu planteo. Cito una parte que no me quedó clara:

Cita:3) calculamos el rotor, por definción

\[rot (f)=\nabla\times f=\left(0,0,\frac{1}{3}\left(x^4+y^4\right)\right)\]

¿Cómo calculaste eso? (Seguro es fácil, pero no me sale).

\[f\] lo da como dato.

\[\nabla=(0,0,h'(z))\]

Si la gradiente llega a estar bien, al multiplicarla por la función no me queda lo que escribiste vos, o sí?

que error mas grande el que cometi por favor me quiero matar perdon se me olvido aclarar que \[\times\] es el producto vectorial, el calculo seria

\[rot (f)=\nabla\times f=\begin{bmatrix}{\frac{df}{dx}}&{\frac{df}{dy}}&{\frac{df}{dz}}\\\\{-\frac{1}{3}y^3}&{\frac{1}{3}x^3}&{h(z)}\end{bmatrix}=\left(0,0,x^2+y^2)\]

Lo podes ver ahora ?

Cita:PD.: El resultado final según tu procedimiento me da \[\frac {4096 \pi} {9}\]
Si alguien más puede verificarlo se agradece.

El resultado ahora varia porque yo de bobis que soy me confundi en las cuentas ahora arreglo el primer post, perdona si te cause confuncion , podes verificar en el wolfram

disculpa el error que bobis soy por favor

Cita:No use cilindricas solo parametrize nada mas, el cambio de coordenadas es una cosa muy distinta a la parametrizacion, no son lo mismo, fijate este enlace http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-am2...as-polares

Perfecto, entendí la diferencia. En cuanto al error que tuve, que no consideré raíz positiva y negativa, ¿cambia en algo? ¿tendría dos resultados?
A pesar de todo sigo sin saber hallar los límites de \[t\]

Cita: que error mas grande el que cometi por favor me quiero matar perdon se me olvido aclarar que \[\times\] es el producto vectorial, el calculo seria

\[rot (f)=\nabla\times f=\begin{bmatrix}{\frac{df}{dx}}&{\frac{df}{dy}}&{\frac{df}{dz}}\\\\{-\frac{1}{3}y^3}&{\frac{1}{3}x^3}&{h(z)}\end{bmatrix}=\left(0,0,x^2+y^2)\]

Lo podes ver ahora ?

No cometiste ningún error, yo soy el pelotudo que no me di cuenta... si no sé eso estoy al horno.

Cita:El resultado ahora varia porque yo de bobis que soy me confundi en las cuentas ahora arreglo el primer post, perdona si te cause confuncion , podes verificar en el wolfram

suerte en el final o parcial si hay dudas ...

Parcial jeje, por el momento me conformo con firmar.
Ah editaste ahora me da igual.
Gracias!

Revisa que arregle el enlace

(19-11-2011 11:29)Saga escribió: [ -> ]Revisa que arregle el enlace

Sí, vi la modificación... ahora llego al mismo resultado.

Con respecto a mi método (el cual acabo de ver que me queda una integral re complicada) si no me equivo los límites quedan así:

\[0 \leq t \leq 2\]

Está bien eso?

muchachos por mas que tardo en comentar, es para leer dps bien el debate, entendi todo y es masomenos como lo plantie, hago una pregunta, yo tengo una formulita para sacar la normal que es el gradiente/s'z, sería lo mismo que ese producto vectorial que hacen ustedes?

---

Saga te hago una preguntita, viste justamente en el post que pusiste diferencia bien que es una parametrización de un cambio de variables a cilíndricas, justamente con eso que aclaraste en el otro post, ahora no estarías contradiciendote?
Aca digo que al ser parametrizada R debería tener valor:
1) parametrizamos dicha curva como
\[g(R,t)=(R\cos t,R\sin t,2)\]

(te pregunto para ver si entendí bien)

Saludos y gracias por la buena onda!!

Como te dije en otros de tus posts no soy un experto en esto (estoy en tus mismas condiciones) pero a mí entender la parametrización es una forma distinta (y que resulta más cómoda) de expresar una curva. Por otro lado, el cambio de coordenadas se hace en la integral misma, en donde en lugar de poner los límites de integración según los ejes coordenados lo hacés en función de los parámetros de la parametrización misma, en la mayoría de los casos es \[r, \theta\]

Saludos!

Off-topic:

Espero no haber dicho una ganzada y confundirte más Jaja

(19-11-2011 14:57)EmiN escribió: [ -> ]muchachos por mas que tardo en comentar, es para leer dps bien el debate, entendi todo y es masomenos como lo plantie, hago una pregunta, yo tengo una formulita para sacar la normal que es el gradiente/s'z, sería lo mismo que ese producto vectorial que hacen ustedes?

Todas las formulitas que tenes todas absolutamente todas salen de la definicion, que es la que se uso para resolver el ejercicio, la ventaja que tiene usar directamente las parametricas es que no hay que preocuparse sobre que plano proyectar o que coseno director tomar, solo parametrizas y listo cuentas nada mas. obvio que cada uno se maneja como mejor lo entienda, pero si las formulas que tenes y el metodo de maty son absolutamente validas en un final.

Cita:Saga te hago una preguntita, viste justamente en el post que pusiste diferencia bien que es una parametrización de un cambio de variables a cilíndricas, justamente con eso que aclaraste en el otro post, ahora no estarías contradiciendote?
Aca digo que al ser parametrizada R debería tener valor:
1) parametrizamos dicha curva como
\[g(R,t)=(R\cos t,R\sin t,2)\]

(te pregunto para ver si entendí bien)

Saludos y gracias por la buena onda!!

Entiendo lo que queres decir, pero lo que aclare en el otro post lo hable siempre sobre el plano, aca estamos hablando en el espacio, yo lo entiendo asi:

Si estamos en el plano la parametrizacion va \[g:R\rightarrow R^2/g(t)=(x(t),y(t))\] con distintos valores de 1 solo parametro puedo obtener todo el plano

Si estamos en el espacio la parametrizacion va \[g:R^2\rightarrow R^3/g(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\] con distintos valores de 2 parametros puedo obtener toda la superficie

Es como que "se va bajando 1 variable" en la parametrizacion, es mas me atrevo a decir que si estuviesemos en \[R^4\] la parametrizacion va \[g:R^3\rightarrow R^4/g(a,b,c)=(x(a,b,c),y(a,b,c),z(a,b,c),h(a,b,c))\]

saludos

Cita:6) los limites de integracion van en funcion de la parametrizacion elegida

\[ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}R^2dRdt=\frac{128\pi}{3}\] editado error en cuentas

Saga, te hago una consulta...

Esta integral no queda:


\[\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{4} (R^2){\color{Red} R}dRdt\]

\[\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{4} (R^{\color{Red} 3})dRdt\]

\[\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{4} (R^{\color{Red} 3})dRdt = 128\pi \]


Por ahí estoy cometiendo un error conceptual al hacer \[d\sigma = RdRdt\]

Es así? O estoy cometiendo un error?

Holas Poltecito, muchas gracias otra vez, eso me pasa por querer hacer de memoria las cuentas me equivoque algo cuando compuse el rotor de f ahora lo edito , otra vez

No Saga, Gracias a vos! Lo mio es porque estoy estudiando, nada mas..

Acá hay que agradecerte a vos que siempre ayudas resolviendo los finales y las dudas de los demas!

Nuevamente! Gracias!